Страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

12.46. a) $\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27, \\ 2^{2x+y} : 2^x = 64; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6}, \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3}. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{9^y} = 27 \\ 2^{2x+y} : 2^x = 64 \end{cases}$

Сначала преобразуем первое уравнение системы. Используем свойства степеней и корней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$, $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

$\sqrt{3^{x-1}} \cdot \sqrt{(3^2)^y} = 3^3$
$(3^{x-1})^{1/2} \cdot (3^{2y})^{1/2} = 3^3$
$3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 3^{\frac{2y}{2}} = 3^3$
$3^{\frac{x-1}{2}} \cdot 3^y = 3^3$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{\frac{x-1}{2} + y} = 3^3$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\frac{x-1}{2} + y = 3$
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
$x - 1 + 2y = 6$
$x + 2y = 7$

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$ и представим $64$ как степень двойки: $64 = 2^6$.

$2^{(2x+y) - x} = 2^6$
$2^{x+y} = 2^6$

Приравниваем показатели степеней:

$x + y = 6$

В результате мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Для решения этой системы выразим $x$ из второго уравнения: $x = 6 - y$. Затем подставим это выражение в первое уравнение:

$(6 - y) + 2y = 7$
$6 + y = 7$
$y = 7 - 6$
$y = 1$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$:

$x = 6 - y = 6 - 1 = 5$

Решением системы является пара чисел $(5; 1)$.

Ответ: $(5; 1)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} \sqrt{6^{x-2y}} : \sqrt{6^x} = \frac{1}{6} \\ (\frac{1}{3})^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = \frac{1}{3} \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение. Используем свойства степеней и корней: $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и $\frac{1}{a} = a^{-1}$.

$(6^{x-2y})^{1/2} : (6^x)^{1/2} = 6^{-1}$
$6^{\frac{x-2y}{2}} : 6^{\frac{x}{2}} = 6^{-1}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$6^{\frac{x-2y}{2} - \frac{x}{2}} = 6^{-1}$
$6^{\frac{x-2y-x}{2}} = 6^{-1}$
$6^{\frac{-2y}{2}} = 6^{-1}$
$6^{-y} = 6^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$-y = -1$
$y = 1$

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используем свойство $\frac{1}{a} = a^{-1}$.

$(3^{-1})^{2x-y} \cdot 3^{x-2y} = 3^{-1}$
$3^{-(2x-y)} \cdot 3^{x-2y} = 3^{-1}$
$3^{-2x+y} \cdot 3^{x-2y} = 3^{-1}$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{(-2x+y) + (x-2y)} = 3^{-1}$
$3^{-x-y} = 3^{-1}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x-y = -1$
$x+y = 1$

Мы получили значение $y=1$ из первого уравнения. Подставим его в преобразованное второе уравнение $x+y=1$:

$x + 1 = 1$
$x = 0$

Решением системы является пара чисел $(0; 1)$.

Ответ: $(0; 1)$.

$\begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10, \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 7^{2x} - 7^x \cdot y = 28, \\ y^2 - y \cdot 7^x = -12. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{2x} + 2^x \cdot y = 10 \\ y^2 + y \cdot 2^x = 15 \end{cases} $$ Сделаем замену переменной. Пусть $a = 2^x$. Поскольку $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $a > 0$. После замены система примет вид: $$ \begin{cases} a^2 + ay = 10 \\ y^2 + ay = 15 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $ (a^2 + ay) + (y^2 + ay) = 10 + 15 $
$ a^2 + 2ay + y^2 = 25 $
$ (a+y)^2 = 25 $
Из последнего уравнения следует, что $a+y = 5$ или $a+y = -5$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a+y = 5$.
Выразим $y$ через $a$: $y = 5 - a$. Подставим это выражение в первое уравнение преобразованной системы $a^2 + ay = 10$:
$ a^2 + a(5 - a) = 10 $
$ a^2 + 5a - a^2 = 10 $
$ 5a = 10 $
$ a = 2 $
Это значение удовлетворяет условию $a > 0$. Теперь найдем $y$:
$ y = 5 - a = 5 - 2 = 3 $.
Для проверки подставим пару $(a, y) = (2, 3)$ во второе уравнение $y^2 + ay = 15$:
$ 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15 $. Равенство выполняется. Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$ a = 2^x \implies 2 = 2^x \implies x = 1 $. Таким образом, одно из решений системы: $(1, 3)$.

Случай 2: $a+y = -5$.
Выразим $y$ через $a$: $y = -5 - a$. Подставим это выражение в первое уравнение $a^2 + ay = 10$:
$ a^2 + a(-5 - a) = 10 $
$ a^2 - 5a - a^2 = 10 $
$ -5a = 10 $
$ a = -2 $
Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Итак, система имеет единственное решение.
Ответ: $(1, 3)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 7^{2x} - 7^x \cdot y = 28 \\ y^2 - y \cdot 7^x = -12 \end{cases} $$ Сделаем замену переменной. Пусть $a = 7^x$. Поскольку $7^x > 0$ для любого действительного $x$, то $a > 0$. После замены система примет вид: $$ \begin{cases} a^2 - ay = 28 \\ y^2 - ay = -12 \end{cases} $$ Сложим первое и второе уравнения системы: $ (a^2 - ay) + (y^2 - ay) = 28 - 12 $
$ a^2 - 2ay + y^2 = 16 $
$ (a-y)^2 = 16 $
Из последнего уравнения следует, что $a-y = 4$ или $a-y = -4$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a-y = 4$.
Выразим $y$ через $a$: $y = a - 4$. Подставим это выражение в первое уравнение преобразованной системы $a^2 - ay = 28$:
$ a^2 - a(a - 4) = 28 $
$ a^2 - a^2 + 4a = 28 $
$ 4a = 28 $
$ a = 7 $
Это значение удовлетворяет условию $a > 0$. Теперь найдем $y$:
$ y = a - 4 = 7 - 4 = 3 $.
Для проверки подставим пару $(a, y) = (7, 3)$ во второе уравнение $y^2 - ay = -12$:
$ 3^2 - 7 \cdot 3 = 9 - 21 = -12 $. Равенство выполняется. Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$ a = 7^x \implies 7 = 7^x \implies x = 1 $. Таким образом, одно из решений системы: $(1, 3)$.

Случай 2: $a-y = -4$.
Выразим $y$ через $a$: $y = a + 4$. Подставим это выражение в первое уравнение $a^2 - ay = 28$:
$ a^2 - a(a + 4) = 28 $
$ a^2 - a^2 - 4a = 28 $
$ -4a = 28 $
$ a = -7 $
Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому в этом случае решений нет.

Итак, система имеет единственное решение.
Ответ: $(1, 3)$.

Решите неравенство:

13.1. a) $2^x \ge 4$;

б) $2^x < \frac{1}{2}$;

в) $2^x \le 8$;

г) $2^x > \frac{1}{16}$.

а) Исходное неравенство: $2^x \ge 4$. Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2. Число 4 можно представить как $2^2$.
Неравенство принимает вид: $2^x \ge 2^2$.
Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе от степеней к их показателям знак неравенства сохраняется.
$x \ge 2$.
Решение неравенства в виде промежутка: $[2; +\infty)$.
Ответ: $x \in [2; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $2^x < \frac{1}{2}$. Приведем правую часть к основанию 2. Используя свойство степени с отрицательным показателем, имеем: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Неравенство принимает вид: $2^x < 2^{-1}$.
Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Следовательно, знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x < -1$.
Решение неравенства в виде промежутка: $(-\infty; -1)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

в) Исходное неравенство: $2^x \le 8$. Приведем правую часть к основанию 2. Число 8 можно представить как $2^3$.
Неравенство принимает вид: $2^x \le 2^3$.
Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Поэтому знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x \le 3$.
Решение неравенства в виде промежутка: $(-\infty; 3]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

г) Исходное неравенство: $2^x > \frac{1}{16}$. Приведем правую часть к основанию 2. Число 16 это $2^4$, тогда $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Неравенство принимает вид: $2^x > 2^{-4}$.
Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^x$ является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется.
$x > -4$.
Решение неравенства в виде промежутка: $(-4; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

13.2. a) $3^x \le 81$;

б) $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$;

в) $5^x > 125$;

г) $(0,2)^x \le 0,04$.

а) Решим показательное неравенство $3^x \le 81$. Для этого необходимо привести обе части неравенства к одному и тому же основанию. В данном случае, это основание 3. Представим число 81 в виде степени числа 3: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$. Теперь исходное неравенство можно переписать в виде: $3^x \le 3^4$. Так как основание степени $a = 3$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степени знак неравенства сохраняется. Следовательно, получаем: $x \le 4$.

Ответ: $x \le 4$ или $x \in (-\infty, 4]$.

б) Решим неравенство $(\frac{1}{3})^x > \frac{1}{27}$. Приведем обе части к основанию $\frac{1}{3}$. Представим правую часть $\frac{1}{27}$ как степень числа $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$. Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{3})^x > (\frac{1}{3})^3$. Так как основание степени $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), показательная функция $y=(\frac{1}{3})^x$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, получаем: $x < 3$.

Ответ: $x < 3$ или $x \in (-\infty, 3)$.

в) Решим неравенство $5^x > 125$. Приведем обе части к основанию 5. Число 125 можно представить как степень числа 5: $125 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^3$. Подставим это в неравенство: $5^x > 5^3$. Основание степени $a = 5$ больше единицы ($a > 1$), поэтому показательная функция $y=5^x$ является возрастающей. Знак неравенства для показателей степеней сохраняется. Получаем: $x > 3$.

Ответ: $x > 3$ или $x \in (3, +\infty)$.

г) Решим неравенство $(0,2)^x \le 0,04$. Приведем обе части к основанию 0,2. Представим число 0,04 как степень числа 0,2: $0,04 = (0,2)^2$. Неравенство переписывается в виде: $(0,2)^x \le (0,2)^2$. Так как основание степени $a = 0,2$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), показательная функция $y=(0,2)^x$ является убывающей. Следовательно, при переходе к показателям знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Получаем: $x \ge 2$.

Ответ: $x \ge 2$ или $x \in [2, +\infty)$.

13.3. a) $3^{2x-4} \le 27$;

б) $(\frac{2}{3})^{3x+6} > \frac{4}{9}$;

В) $5^{4x+2} \ge 125$;

Г) $(0.1)^{5x-9} < 0.001.$

а) $3^{2x-4} \le 27$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. В данном случае это основание $3$.

Правая часть неравенства: $27 = 3^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$3^{2x-4} \le 3^3$

Так как основание степени $3$ больше единицы ($3 > 1$), то показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x - 4 \le 3$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$2x \le 3 + 4$

$2x \le 7$

$x \le \frac{7}{2}$

$x \le 3.5$

Решением является промежуток $(-\infty; 3.5]$.

Ответ: $(-\infty; 3.5]$.

б) $(\frac{2}{3})^{3x+6} > \frac{4}{9}$

Приведем обе части неравенства к основанию $\frac{2}{3}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{2}{3}$:

$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{2}{3})^{3x+6} > (\frac{2}{3})^2$

Основание степени $\frac{2}{3}$ находится в интервале $(0; 1)$. Показательная функция $y=a^t$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это значит, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$3x + 6 < 2$

Решаем линейное неравенство:

$3x < 2 - 6$

$3x < -4$

$x < -\frac{4}{3}$

Решением является промежуток $(-\infty; -\frac{4}{3})$.

Ответ: $(-\infty; -\frac{4}{3})$.

в) $5^{4x+2} \ge 125$

Приведем обе части к основанию $5$.

Правая часть: $125 = 5^3$.

Неравенство принимает вид:

$5^{4x+2} \ge 5^3$

Основание степени $5 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к показателям сохраняется:

$4x + 2 \ge 3$

Решаем линейное неравенство:

$4x \ge 3 - 2$

$4x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{4}$

Решением является промежуток $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

Ответ: $[\frac{1}{4}; +\infty)$.

г) $(0,1)^{5x-9} < 0,001$

Приведем обе части неравенства к основанию $0,1$.

Представим правую часть в виде степени с основанием $0,1$:

$0,001 = \frac{1}{1000} = (\frac{1}{10})^3 = (0,1)^3$

Неравенство принимает вид:

$(0,1)^{5x-9} < (0,1)^3$

Основание степени $0,1$ находится в интервале $(0; 1)$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$5x - 9 > 3$

Решаем полученное линейное неравенство:

$5x > 3 + 9$

$5x > 12$

$x > \frac{12}{5}$

$x > 2,4$

Решением является промежуток $(2,4; +\infty)$.

Ответ: $(2,4; +\infty)$.

13.4. а) $7^{2x-9} > 7^{3x-6};$

б) $0,5^{4x+3} \ge 0,5^{6x-1};$

в) $9^{x-1} \ge 9^{-2x+8};$

г) $\left(\frac{7}{11}\right)^{-3x-0,5} < \left(\frac{7}{11}\right)^{x+1,5}.$

а) Дано показательное неравенство $7^{2x-9} > 7^{3x-6}$.

Так как основание степени $a=7$ больше 1 ($7 > 1$), показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x - 9 > 3x - 6$

Решим полученное линейное неравенство. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$6 - 9 > 3x - 2x$

$-3 > x$

Запишем в более привычном виде: $x < -3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3)$

б) Дано показательное неравенство $0,5^{4x+3} \ge 0,5^{6x-1}$.

Так как основание степени $a=0,5$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,5 < 1$), показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$4x + 3 \le 6x - 1$

Решим полученное линейное неравенство:

$3 + 1 \le 6x - 4x$

$4 \le 2x$

Разделим обе части на 2 (знак неравенства не меняется):

$2 \le x$

Запишем в более привычном виде: $x \ge 2$.

Ответ: $x \in [2; +\infty)$

в) Дано показательное неравенство $9^{x-1} \ge 9^{-2x+8}$.

Так как основание степени $a=9$ больше 1 ($9 > 1$), показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$x - 1 \ge -2x + 8$

Решим полученное линейное неравенство:

$x + 2x \ge 8 + 1$

$3x \ge 9$

Разделим обе части на 3:

$x \ge 3$

Ответ: $x \in [3; +\infty)$

г) Дано показательное неравенство $(\frac{7}{11})^{-3x-0,5} < (\frac{7}{11})^{x+1,5}$.

Так как основание степени $a = \frac{7}{11}$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < \frac{7}{11} < 1$), показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$-3x - 0,5 > x + 1,5$

Решим полученное линейное неравенство:

$-0,5 - 1,5 > x + 3x$

$-2 > 4x$

Разделим обе части на 4:

$-\frac{2}{4} > x$

$-0,5 > x$

Запишем в более привычном виде: $x < -0,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0,5)$

13.5. а) $4^{5x-1} > 16^{3x+2}$;

б) $(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geq (\frac{1}{49})^{x+3}$;

в) $11^{-7x+1} \leq 121^{-2x-10}$;

г) $0,09^{5x-1} < 0,3^{x+7}$.

а) $4^{5x-1} > 16^{3x+2}$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$.

$4^{5x-1} > (4^2)^{3x+2}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$4^{5x-1} > 4^{2(3x+2)}$

$4^{5x-1} > 4^{6x+4}$

Так как основание степени $4 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$5x - 1 > 6x + 4$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$5x - 6x > 4 + 1$

$-x > 5$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x < -5$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in (-\infty; -5)$.

Ответ: $(-\infty; -5)$.

б) $(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geqslant (\frac{1}{49})^{x+3}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$.

$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geqslant ((\frac{1}{7})^2)^{x+3}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geqslant (\frac{1}{7})^{2(x+3)}$

$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geqslant (\frac{1}{7})^{2x+6}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $0 < a < 1$, то показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$-3x + 1 \leqslant 2x + 6$

Решим полученное линейное неравенство:

$-3x - 2x \leqslant 6 - 1$

$-5x \leqslant 5$

Разделим обе части на $-5$ и сменим знак неравенства:

$x \geqslant -1$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in [-1; +\infty)$.

Ответ: $[-1; +\infty)$.

в) $11^{-7x+1} \leqslant 121^{-2x-10}$

Приведем обе части к основанию 11, так как $121 = 11^2$.

$11^{-7x+1} \leqslant (11^2)^{-2x-10}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$11^{-7x+1} \leqslant 11^{2(-2x-10)}$

$11^{-7x+1} \leqslant 11^{-4x-20}$

Основание степени $11 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-7x + 1 \leqslant -4x - 20$

Решим линейное неравенство:

$-7x + 4x \leqslant -20 - 1$

$-3x \leqslant -21$

Разделим обе части на $-3$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geqslant 7$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in [7; +\infty)$.

Ответ: $[7; +\infty)$.

г) $0,09^{5x-1} < 0,3^{x+7}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,09 = (0,3)^2$.

$(0,3^2)^{5x-1} < 0,3^{x+7}$

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$0,3^{2(5x-1)} < 0,3^{x+7}$

$0,3^{10x-2} < 0,3^{x+7}$

Основание степени $a = 0,3$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, следовательно, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$10x - 2 > x + 7$

Решим полученное линейное неравенство:

$10x - x > 7 + 2$

$9x > 9$

$x > 1$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: $(1; +\infty)$.

13.6. а) $2^{3x+6} \le \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$;

В) $25^{-x+3} \ge \left(\frac{1}{5}\right)^{3x-1}$;

б) $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$;

г) $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$.

а)

Дано показательное неравенство $2^{3x+6} \le \left(\frac{1}{4}\right)^{x-1}$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию. В качестве общего основания выберем 2.

Представим правую часть неравенства как степень с основанием 2. Мы знаем, что $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство: $2^{3x+6} \le (2^{-2})^{x-1}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для правой части: $2^{3x+6} \le 2^{-2(x-1)}$ $2^{3x+6} \le 2^{-2x+2}$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция с этим основанием является возрастающей. Это значит, что для показателей степени знак неравенства сохраняется: $3x+6 \le -2x+2$

Теперь решим полученное линейное неравенство: $3x + 2x \le 2 - 6$ $5x \le -4$ $x \le -\frac{4}{5}$

Решением является промежуток $(-\infty; -0.8]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.8]$.

б)

Дано неравенство $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$.

Приведем обе части к общему основанию. Заметим, что основания $\frac{7}{12}$ и $\frac{12}{7}$ являются взаимно обратными числами. Выберем в качестве общего основания $\frac{7}{12}$.

Представим $\frac{12}{7}$ как степень с основанием $\frac{7}{12}$: $\frac{12}{7} = \left(\frac{7}{12}\right)^{-1}$.

Подставим это в правую часть неравенства: $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\left(\frac{7}{12}\right)^{-1}\right)^{3+2x}$

Упростим правую часть: $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{7}{12}\right)^{-(3+2x)}$ $\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3} > \left(\frac{7}{12}\right)^{-3-2x}$

Поскольку основание степени $0 < \frac{7}{12} < 1$, показательная функция с этим основанием является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $-2x+3 < -3-2x$

Решим полученное неравенство: $-2x + 2x < -3 - 3$ $0 < -6$

Мы получили неверное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

в)

Дано неравенство $25^{-x+3} \ge \left(\frac{1}{5}\right)^{3x-1}$.

Приведем обе части к одному основанию, например, к основанию 5.

Представим $25$ и $\frac{1}{5}$ в виде степеней с основанием 5: $25 = 5^2$ и $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Подставим эти выражения в неравенство: $(5^2)^{-x+3} \ge (5^{-1})^{3x-1}$

Упростим показатели степеней в обеих частях: $5^{2(-x+3)} \ge 5^{-1(3x-1)}$ $5^{-2x+6} \ge 5^{-3x+1}$

Так как основание $5 > 1$, показательная функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется: $-2x+6 \ge -3x+1$

Решим полученное линейное неравенство: $-2x + 3x \ge 1 - 6$ $x \ge -5$

Решением является числовой промежуток $[-5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$.

Приведем обе части к общему основанию $\frac{5}{3}$.

Представим основание правой части $\frac{9}{25}$ через основание $\frac{5}{3}$: $\frac{9}{25} = \frac{3^2}{5^2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2$. Поскольку $\frac{3}{5} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-1}$, то $\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{-1}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^{-2}$.

Подставим полученное выражение в неравенство: $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\left(\frac{5}{3}\right)^{-2}\right)^{-x+3}$

Упростим правую часть: $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{5}{3}\right)^{-2(-x+3)}$ $\left(\frac{5}{3}\right)^{2x-8} < \left(\frac{5}{3}\right)^{2x-6}$

Основание степени $\frac{5}{3} > 1$, поэтому показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется: $2x-8 < 2x-6$

Решим это неравенство: $2x - 2x < -6 + 8$ $0 < 2$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное неравенство справедливо для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.