Номер 13.5, страница 79, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.5, страница 79.

13.5. а) $4^{5x-1} > 16^{3x+2}$;

б) $(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geq (\frac{1}{49})^{x+3}$;

в) $11^{-7x+1} \leq 121^{-2x-10}$;

г) $0,09^{5x-1} < 0,3^{x+7}$.

а) $4^{5x-1} > 16^{3x+2}$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$.

$4^{5x-1} > (4^2)^{3x+2}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$4^{5x-1} > 4^{2(3x+2)}$

$4^{5x-1} > 4^{6x+4}$

Так как основание степени $4 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$5x - 1 > 6x + 4$

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$5x - 6x > 4 + 1$

$-x > 5$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x < -5$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in (-\infty; -5)$.

Ответ: $(-\infty; -5)$.

б) $(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geqslant (\frac{1}{49})^{x+3}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$.

$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geqslant ((\frac{1}{7})^2)^{x+3}$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ получаем:

$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geqslant (\frac{1}{7})^{2(x+3)}$

$(\frac{1}{7})^{-3x+1} \geqslant (\frac{1}{7})^{2x+6}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{7}$ находится в интервале $0 < a < 1$, то показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$-3x + 1 \leqslant 2x + 6$

Решим полученное линейное неравенство:

$-3x - 2x \leqslant 6 - 1$

$-5x \leqslant 5$

Разделим обе части на $-5$ и сменим знак неравенства:

$x \geqslant -1$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in [-1; +\infty)$.

Ответ: $[-1; +\infty)$.

в) $11^{-7x+1} \leqslant 121^{-2x-10}$

Приведем обе части к основанию 11, так как $121 = 11^2$.

$11^{-7x+1} \leqslant (11^2)^{-2x-10}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$11^{-7x+1} \leqslant 11^{2(-2x-10)}$

$11^{-7x+1} \leqslant 11^{-4x-20}$

Основание степени $11 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-7x + 1 \leqslant -4x - 20$

Решим линейное неравенство:

$-7x + 4x \leqslant -20 - 1$

$-3x \leqslant -21$

Разделим обе части на $-3$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x \geqslant 7$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in [7; +\infty)$.

Ответ: $[7; +\infty)$.

г) $0,09^{5x-1} < 0,3^{x+7}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $0,09 = (0,3)^2$.

$(0,3^2)^{5x-1} < 0,3^{x+7}$

Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$0,3^{2(5x-1)} < 0,3^{x+7}$

$0,3^{10x-2} < 0,3^{x+7}$

Основание степени $a = 0,3$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, следовательно, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$10x - 2 > x + 7$

Решим полученное линейное неравенство:

$10x - x > 7 + 2$

$9x > 9$

$x > 1$

Решение неравенства в виде интервала: $x \in (1; +\infty)$.

Ответ: $(1; +\infty)$.