Номер 13.10, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.10, страница 80.

13.10. a) $2^x \cdot 3^x \ge 36^x \cdot \sqrt{6};$

б) $(\frac{1}{3})^x \cdot 4^x < (\frac{16}{9})^{x-1};$

в) $3^x \cdot 5^x \le 225^x \cdot \sqrt{15};$

г) $(\frac{2}{11})^x \cdot 3^x > (\frac{36}{121})^{2x+3}.$

а) $2^x \cdot 3^x \ge 36^x \cdot \sqrt{6}$

Сначала преобразуем обе части неравенства, чтобы привести их к одному основанию. Используем свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ для левой части:

$(2 \cdot 3)^x \ge 36^x \cdot \sqrt{6}$

$6^x \ge 36^x \cdot \sqrt{6}$

Теперь представим все члены в виде степени с основанием 6. Мы знаем, что $36 = 6^2$ и $\sqrt{6} = 6^{1/2}$.

$6^x \ge (6^2)^x \cdot 6^{1/2}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим правую часть:

$6^x \ge 6^{2x} \cdot 6^{1/2}$

$6^x \ge 6^{2x + 1/2}$

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \ge 2x + \frac{1}{2}$

Решим полученное линейное неравенство:

$x - 2x \ge \frac{1}{2}$

$-x \ge \frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -\frac{1}{2}$

Ответ: $(-\infty; -1/2]$.

б) $(\frac{1}{3})^x \cdot 4^x < (\frac{16}{9})^{x-1}$

Объединим степени в левой части неравенства:

$(\frac{1}{3} \cdot 4)^x < (\frac{16}{9})^{x-1}$

$(\frac{4}{3})^x < (\frac{16}{9})^{x-1}$

Приведем правую часть к основанию $\frac{4}{3}$. Так как $\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$, получаем:

$(\frac{4}{3})^x < ((\frac{4}{3})^2)^{x-1}$

Упростим показатель степени в правой части:

$(\frac{4}{3})^x < (\frac{4}{3})^{2(x-1)}$

$(\frac{4}{3})^x < (\frac{4}{3})^{2x-2}$

Основание степени $\frac{4}{3} > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Знак неравенства для показателей сохраняется:

$x < 2x - 2$

Решим линейное неравенство:

$2 < 2x - x$

$x > 2$

Ответ: $(2; +\infty)$.

в) $3^x \cdot 5^x \le 225^x \cdot \sqrt{15}$

Объединим степени в левой части:

$(3 \cdot 5)^x \le 225^x \cdot \sqrt{15}$

$15^x \le 225^x \cdot \sqrt{15}$

Приведем все члены к основанию 15. Мы знаем, что $225 = 15^2$ и $\sqrt{15} = 15^{1/2}$.

$15^x \le (15^2)^x \cdot 15^{1/2}$

Упростим правую часть:

$15^x \le 15^{2x} \cdot 15^{1/2}$

$15^x \le 15^{2x + 1/2}$

Так как основание $15 > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x \le 2x + \frac{1}{2}$

Решим полученное неравенство:

$x - 2x \le \frac{1}{2}$

$-x \le \frac{1}{2}$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:

$x \ge -\frac{1}{2}$

Ответ: $[-1/2; +\infty)$.

г) $(\frac{2}{11})^x \cdot 3^x > (\frac{36}{121})^{2x+3}$

Сгруппируем члены в левой части:

$(\frac{2}{11} \cdot 3)^x > (\frac{36}{121})^{2x+3}$

$(\frac{6}{11})^x > (\frac{36}{121})^{2x+3}$

Приведем обе части к одному основанию $\frac{6}{11}$. Заметим, что $\frac{36}{121} = (\frac{6}{11})^2$.

$(\frac{6}{11})^x > ((\frac{6}{11})^2)^{2x+3}$

Упростим показатель степени справа:

$(\frac{6}{11})^x > (\frac{6}{11})^{2(2x+3)}$

$(\frac{6}{11})^x > (\frac{6}{11})^{4x+6}$

Основание степени $\frac{6}{11}$ находится в интервале $(0; 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей знак неравенства нужно изменить на противоположный:

$x < 4x + 6$

Решим это линейное неравенство:

$x - 4x < 6$

$-3x < 6$

Разделим обе части на -3 и изменим знак неравенства:

$x > -2$

Ответ: $(-2; +\infty)$.