Номер 13.14, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.14, страница 81.

13.14. а) $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1;$

В) $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1;$

б) $0,36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1;$

Г) $\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1.$

а) $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \geq 1$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 19: $1 = 19^0$.

Неравенство принимает вид: $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \geq 19^0$.

Так как основание степени $19 > 1$, показательная функция $y=19^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$\frac{2x-3}{x+2} \geq 0$

Решим полученное дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Сначала найдем область определения: знаменатель не должен равняться нулю, то есть $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x-3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$.

Нуль знаменателя: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=1.5$ будет включена в решение (закрашенная), так как неравенство нестрогое ($\geq$). Точка $x=-2$ будет исключена (выколотая), так как она обращает знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения $\frac{2x-3}{x+2}$ на полученных интервалах:

• При $x \in (1.5, +\infty)$, например $x=2$, выражение $\frac{2(2)-3}{2+2} = \frac{1}{4} > 0$.
• При $x \in (-2, 1.5)$, например $x=0$, выражение $\frac{2(0)-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$.
• При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$, выражение $\frac{2(-3)-3}{-3+2} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$.

Поскольку нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю, выбираем интервалы со знаком "+".

Решением неравенства является объединение интервалов: $(-\infty, -2) \cup [1.5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup [1.5, +\infty)$.

б) $0,36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 0,36: $1 = 0,36^0$.

Неравенство принимает вид: $0,36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 0,36^0$.

Так как основание степени $0 < 0,36 < 1$, показательная функция $y=0,36^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{7x+1}{2-x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Область определения: $2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $7x+1 = 0 \Rightarrow 7x = -1 \Rightarrow x = -1/7$.

Нуль знаменателя: $2-x = 0 \Rightarrow x = 2$.

Отметим точки на числовой прямой. Обе точки ($x=-1/7$ и $x=2$) будут выколотыми, так как исходное неравенство строгое.

Определим знаки выражения $\frac{7x+1}{2-x}$ на интервалах:

• При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$, выражение $\frac{7(3)+1}{2-3} = \frac{22}{-1} < 0$.
• При $x \in (-1/7, 2)$, например $x=0$, выражение $\frac{7(0)+1}{2-0} = \frac{1}{2} > 0$.
• При $x \in (-\infty, -1/7)$, например $x=-1$, выражение $\frac{7(-1)+1}{2-(-1)} = \frac{-6}{3} < 0$.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля (знак "+").

Решением является интервал $(-1/7, 2)$.

Ответ: $(-1/7, 2)$.

в) $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \leq 1$

Представим 1 как степень с основанием 37: $1 = 37^0$.

Получаем неравенство: $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \leq 37^0$.

Основание степени $37 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{5x-9}{x+6} \leq 0$

Решаем методом интервалов. ОДЗ: $x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$.

Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x-9 = 0 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x = 1.8$.

Нуль знаменателя: $x+6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

Отметим точки на числовой прямой: $x=1.8$ — закрашенная (неравенство нестрогое), $x=-6$ — выколотая (знаменатель).

Определим знаки выражения $\frac{5x-9}{x+6}$ на интервалах:

• При $x \in (1.8, +\infty)$, например $x=2$, выражение $\frac{5(2)-9}{2+6} = \frac{1}{8} > 0$.
• При $x \in (-6, 1.8)$, например $x=0$, выражение $\frac{5(0)-9}{0+6} = -\frac{9}{6} < 0$.
• При $x \in (-\infty, -6)$, например $x=-7$, выражение $\frac{5(-7)-9}{-7+6} = \frac{-44}{-1} > 0$.

Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").

Решение: $x \in (-6, 1.8]$.

Ответ: $(-6, 1.8]$.

г) $(\frac{29}{30})^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{29}{30}$: $1 = (\frac{29}{30})^0$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{29}{30})^{\frac{9x-18}{6-x}} > (\frac{29}{30})^0$.

Так как основание степени $0 < \frac{29}{30} < 1$, показательная функция убывающая. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$\frac{9x-18}{6-x} < 0$

Решаем методом интервалов. ОДЗ: $6-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.

Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $9x-18 = 0 \Rightarrow 9x=18 \Rightarrow x=2$.

Нуль знаменателя: $6-x=0 \Rightarrow x=6$.

Отметим точки на числовой прямой. Обе точки ($x=2$ и $x=6$) выколотые, так как неравенство строгое.

Определим знаки выражения $\frac{9x-18}{6-x}$ на интервалах:

• При $x \in (6, +\infty)$, например $x=7$, выражение $\frac{9(7)-18}{6-7} = \frac{45}{-1} < 0$.
• При $x \in (2, 6)$, например $x=3$, выражение $\frac{9(3)-18}{6-3} = \frac{9}{3} > 0$.
• При $x \in (-\infty, 2)$, например $x=0$, выражение $\frac{9(0)-18}{6-0} = -3 < 0$.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля (знак "-").

Решением является объединение интервалов $(-\infty, 2) \cup (6, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (6, +\infty)$.