Номер 13.15, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.15, страница 81.

13.15. a) $5^{\frac{x}{x+3}} \leqslant 5;$

б) $(\frac{4}{9})^{\frac{2x-1}{3x+5}} > \frac{4}{9};$

В) $17^{\frac{x}{x-8}} \geqslant 17;$

Г) $(0,21)^{\frac{3x+4}{x-8}} < 0,21.$

а) $5^{\frac{x}{x+3}} \le 5$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5: $5 = 5^1$.
Неравенство принимает вид:
$5^{\frac{x}{x+3}} \le 5^1$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$\frac{x}{x+3} \le 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x}{x+3} - 1 \le 0$
$\frac{x - (x+3)}{x+3} \le 0$
$\frac{x - x - 3}{x+3} \le 0$
$\frac{-3}{x+3} \le 0$
Числитель дроби (-3) является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго больше нуля (знаменатель не может быть равен нулю).
$x+3 > 0$
$x > -3$
Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

б) $(\frac{4}{9})^{\frac{2x-1}{3x+5}} > \frac{4}{9}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{4}{9}$: $\frac{4}{9} = (\frac{4}{9})^1$.
Неравенство принимает вид:
$(\frac{4}{9})^{\frac{2x-1}{3x+5}} > (\frac{4}{9})^1$
Так как основание степени $a = \frac{4}{9}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{4}{9})^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{2x-1}{3x+5} < 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2x-1}{3x+5} - 1 < 0$
$\frac{2x-1 - (3x+5)}{3x+5} < 0$
$\frac{2x-1-3x-5}{3x+5} < 0$
$\frac{-x-6}{3x+5} < 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x+6}{3x+5} > 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x+6=0 \implies x=-6$
$3x+5=0 \implies x=-5/3$
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{x+6}{3x+5}$ на полученных интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; -5/3)$ и $(-5/3; +\infty)$.

• При $x > -5/3$ (например, $x=0$): $\frac{0+6}{3(0)+5} = \frac{6}{5} > 0$.
• При $-6 < x < -5/3$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+6}{3(-3)+5} = \frac{3}{-4} < 0$.
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7+6}{3(-7)+5} = \frac{-1}{-16} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty; -6)$ и $(-5/3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-\frac{5}{3}; +\infty)$.

в) $17^{\frac{x}{x-8}} \ge 17$

Представим правую часть в виде степени: $17 = 17^1$.
$17^{\frac{x}{x-8}} \ge 17^1$
Так как основание степени $17 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.
$\frac{x}{x-8} \ge 1$
Перенесем 1 в левую часть:
$\frac{x}{x-8} - 1 \ge 0$
$\frac{x - (x-8)}{x-8} \ge 0$
$\frac{x - x + 8}{x-8} \ge 0$
$\frac{8}{x-8} \ge 0$
Числитель $8$ положителен. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть строго больше нуля.
$x-8 > 0$
$x > 8$
Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

г) $(0,21)^{\frac{3x+4}{x-8}} < 0,21$

Представим правую часть в виде степени: $0,21 = (0,21)^1$.
$(0,21)^{\frac{3x+4}{x-8}} < (0,21)^1$
Так как основание степени $a=0,21$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{3x+4}{x-8} > 1$
Перенесем 1 в левую часть:
$\frac{3x+4}{x-8} - 1 > 0$
$\frac{3x+4 - (x-8)}{x-8} > 0$
$\frac{3x+4 - x + 8}{x-8} > 0$
$\frac{2x+12}{x-8} > 0$
$\frac{2(x+6)}{x-8} > 0$
Разделим обе части на 2 (знак неравенства не изменится):
$\frac{x+6}{x-8} > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-6$ и $x=8$.
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; 8)$ и $(8; +\infty)$.

• При $x > 8$ (например, $x=10$): $\frac{10+6}{10-8} = \frac{16}{2} > 0$.
• При $-6 < x < 8$ (например, $x=0$): $\frac{0+6}{0-8} = \frac{6}{-8} < 0$.
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7+6}{-7-8} = \frac{-1}{-15} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty; -6)$ и $(8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (8; +\infty)$.