Номер 13.20, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.20, страница 81.

13.20. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:

a) $8^{-2x+8} > 512;$

б) $(\frac{1}{9})^{8x-23} \ge \frac{1}{81};$

в) $2^{5x-7} \le 16;$

г) $0,1^{4x-5} > 0,001?$

а)Исходное неравенство: $8^{-2x+8} > 512$.
Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 8. Мы знаем, что $512 = 8^3$.
Неравенство принимает вид: $8^{-2x+8} > 8^3$.
Так как основание степени $8 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$-2x + 8 > 3$
$-2x > 3 - 8$
$-2x > -5$
При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-5}{-2}$
$x < 2,5$
Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству, — это 1 и 2. Всего их 2.
Ответ: 2

б)Исходное неравенство: $(\frac{1}{9})^{8x-23} \ge \frac{1}{81}$.
Представим обе части неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{9}$. Мы знаем, что $\frac{1}{81} = (\frac{1}{9})^2$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{9})^{8x-23} \ge (\frac{1}{9})^2$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{9} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$8x - 23 \le 2$
$8x \le 2 + 23$
$8x \le 25$
$x \le \frac{25}{8}$
$x \le 3,125$
Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству, — это 1, 2, 3. Всего их 3.
Ответ: 3

в)Исходное неравенство: $2^{5x-7} \le 16$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$.
Неравенство принимает вид: $2^{5x-7} \le 2^4$.
Так как основание степени $2 > 1$, то знак неравенства сохраняется:
$5x - 7 \le 4$
$5x \le 4 + 7$
$5x \le 11$
$x \le \frac{11}{5}$
$x \le 2,2$
Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству, — это 1 и 2. Всего их 2.
Ответ: 2

г)Исходное неравенство: $0,1^{4x-5} > 0,001$.
Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 0,1. Мы знаем, что $0,001 = 0,1^3$.
Неравенство принимает вид: $0,1^{4x-5} > 0,1^3$.
Так как основание степени $0 < 0,1 < 1$, то знак неравенства меняется на противоположный:
$4x - 5 < 3$
$4x < 3 + 5$
$4x < 8$
$x < 2$
Единственное натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 1. Всего 1 число.
Ответ: 1