Номер 13.25, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.25, страница 82.

13.25. a) $7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} \ge 57;$

б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} \le 160;$

в) $100 \cdot 0,3^{4x+2} - 0,09^{2x} + 5 \cdot 0,0081^x < 13;$

г) $\left(\frac{1}{16}\right)^{x+0,25} + \left(\frac{1}{4}\right)^{2x+1} - \left(\frac{1}{2}\right)^{4x+3} \le \frac{5}{4}.$

а) $7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} \ge 57$

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель $7^{2x}$:

$7^{2x} \cdot 7^1 + 7^{2x} \cdot 7^2 + 7^{2x} \cdot 7^3 \ge 57$

$7^{2x} (7 + 7^2 + 7^3) \ge 57$

Вычислим значение выражения в скобках:

$7 + 49 + 343 = 399$

Подставим полученное значение в неравенство:

$7^{2x} \cdot 399 \ge 57$

Разделим обе части неравенства на 399:

$7^{2x} \ge \frac{57}{399}$

Сократим дробь: $\frac{57}{399} = \frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 133} = \frac{19}{133} = \frac{19}{7 \cdot 19} = \frac{1}{7}$.

Неравенство принимает вид:

$7^{2x} \ge \frac{1}{7}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

$7^{2x} \ge 7^{-1}$

Так как основание степени $7 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} \le 160$

Преобразуем левую часть, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{4x-3}$:

$2^{4x-3} \cdot 2^2 + 2^{4x-3} \cdot 2^1 - 2^{4x-3} \cdot 1 \le 160$

$2^{4x-3} (2^2 + 2 - 1) \le 160$

Вычислим выражение в скобках:

$4 + 2 - 1 = 5$

Неравенство примет вид:

$2^{4x-3} \cdot 5 \le 160$

Разделим обе части на 5:

$2^{4x-3} \le 32$

Представим 32 как степень с основанием 2: $32 = 2^5$.

$2^{4x-3} \le 2^5$

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$4x - 3 \le 5$

$4x \le 8$

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

в) $100 \cdot 0,3^{4x+2} - 0,09^{2x} + 5 \cdot 0,0081^x < 13$

Приведем все степени к одному основанию 0,3. Заметим, что $0,09 = (0,3)^2$ и $0,0081 = (0,3)^4$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$100 \cdot 0,3^{4x+2} - (0,3^2)^{2x} + 5 \cdot (0,3^4)^x < 13$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$100 \cdot (0,3^{4x} \cdot 0,3^2) - 0,3^{4x} + 5 \cdot 0,3^{4x} < 13$

Вычислим $100 \cdot 0,3^2 = 100 \cdot 0,09 = 9$. Неравенство примет вид:

$9 \cdot 0,3^{4x} - 0,3^{4x} + 5 \cdot 0,3^{4x} < 13$

Вынесем общий множитель $0,3^{4x}$ за скобки:

$0,3^{4x}(9 - 1 + 5) < 13$

$0,3^{4x} \cdot 13 < 13$

Разделим обе части на 13:

$0,3^{4x} < 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,3: $1 = 0,3^0$.

$0,3^{4x} < 0,3^0$

Так как основание степени $0,3 < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$4x > 0$

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) $(\frac{1}{16})^{x+0.25} + (\frac{1}{4})^{2x+1} - (\frac{1}{2})^{4x+3} \le \frac{5}{4}$

Приведем все степени к одному основанию $\frac{1}{2}$. Заметим, что $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$ и $0,25 = \frac{1}{4}$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$((\frac{1}{2})^4)^{x+1/4} + ((\frac{1}{2})^2)^{2x+1} - (\frac{1}{2})^{4x+3} \le \frac{5}{4}$

Упростим показатели степеней, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{2})^{4(x+1/4)} + (\frac{1}{2})^{2(2x+1)} - (\frac{1}{2})^{4x+3} \le \frac{5}{4}$

$(\frac{1}{2})^{4x+1} + (\frac{1}{2})^{4x+2} - (\frac{1}{2})^{4x+3} \le \frac{5}{4}$

Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{1}{2})^{4x+1}$:

$(\frac{1}{2})^{4x+1} \left(1 + (\frac{1}{2})^1 - (\frac{1}{2})^2\right) \le \frac{5}{4}$

Вычислим выражение в скобках:

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Неравенство примет вид:

$(\frac{1}{2})^{4x+1} \cdot \frac{5}{4} \le \frac{5}{4}$

Разделим обе части на $\frac{5}{4}$:

$(\frac{1}{2})^{4x+1} \le 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{1}{2}$: $1 = (\frac{1}{2})^0$.

$(\frac{1}{2})^{4x+1} \le (\frac{1}{2})^0$

Так как основание степени $\frac{1}{2} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$4x+1 \ge 0$

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}; +\infty)$.