Номер 13.19, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.19, страница 81.

13.19. a) $(\frac{1}{2})^{|x|} < (\frac{1}{4})^{|x+8|}$;

б) $(0,2)^{|-x|} > (0,04)^{|x-9|}$;

В) $(\sqrt{3})^{2|x|} \le 3^{|-x+9|}$;

Г) $(\sqrt{5})^{-3|x|} \ge 5^{-|9x-1|}$.

а)

Дано показательное неравенство: $(\frac{1}{2})^{|x|} < (\frac{1}{4})^{|x+8|}$.

Первым шагом приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{1}{2})^{|x|} < ((\frac{1}{2})^2)^{|x+8|}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{1}{2})^{|x|} < (\frac{1}{2})^{2|x+8|}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$|x| > 2|x+8|$

Обе части полученного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства. Это позволяет избавиться от модулей.

$x^2 > (2(x+8))^2$

$x^2 > 4(x+8)^2$

$x^2 > 4(x^2 + 16x + 64)$

$x^2 > 4x^2 + 64x + 256$

Перенесем все члены в одну сторону:

$0 > 3x^2 + 64x + 256$

или

$3x^2 + 64x + 256 < 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 64x + 256 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 64^2 - 4 \cdot 3 \cdot 256 = 4096 - 3072 = 1024$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-64 - 32}{2 \cdot 3} = \frac{-96}{6} = -16$

$x_2 = \frac{-64 + 32}{2 \cdot 3} = \frac{-32}{6} = -\frac{16}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 + 64x + 256$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $3x^2 + 64x + 256 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(-16, -\frac{16}{3})$.

Ответ: $x \in (-16; -\frac{16}{3})$.

б)

Дано неравенство: $(0,2)^{|-x|} > (0,04)^{|x-9|}$.

Упростим выражение, используя свойство модуля $|-x| = |x|$. Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5}$ и $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 = (0,2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(0,2)^{|x|} > ((0,2)^2)^{|x-9|}$

$(0,2)^{|x|} > (0,2)^{2|x-9|}$

Основание степени $a = 0,2$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция убывает. При сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$|x| < 2|x-9|$

Возведем обе неотрицательные части неравенства в квадрат:

$x^2 < 4(x-9)^2$

$x^2 < 4(x^2 - 18x + 81)$

$x^2 < 4x^2 - 72x + 324$

$0 < 3x^2 - 72x + 324$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 24x + 108 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 24x + 108 = 0$.

Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 576 - 432 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{24 - 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{24 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Парабола $y = x^2 - 24x + 108$ имеет ветви вверх. Неравенство $x^2 - 24x + 108 > 0$ выполняется для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 6) \cup (18, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6) \cup (18; \infty)$.

в)

Дано неравенство: $(\sqrt{3})^{2|x|} \le 3^{|-x+9|}$.

Приведем обе части к основанию 3. Учтем, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $|-x+9| = |-(x-9)| = |x-9|$.

$(3^{1/2})^{2|x|} \le 3^{|x-9|}$

$3^{|x|} \le 3^{|x-9|}$

Основание степени $a = 3$ больше 1, поэтому показательная функция возрастает. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$|x| \le |x-9|$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 \le (x-9)^2$

$x^2 \le x^2 - 18x + 81$

$0 \le -18x + 81$

$18x \le 81$

$x \le \frac{81}{18}$

$x \le \frac{9}{2}$ или $x \le 4,5$.

Решение можно представить в виде интервала $(-\infty, 4,5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4,5]$.

г)

Дано неравенство: $(\sqrt{5})^{-3|x|} \ge 5^{-|9x-1|}$.

Приведем обе части к основанию 5, используя $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.

$(5^{1/2})^{-3|x|} \ge 5^{-|9x-1|}$

$5^{-\frac{3}{2}|x|} \ge 5^{-|9x-1|}$

Основание $a = 5$ больше 1, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется.

$-\frac{3}{2}|x| \ge -|9x-1|$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{3}{2}|x| \le |9x-1|$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3|x| \le 2|9x-1|$

Возведем в квадрат обе неотрицательные части:

$(3|x|)^2 \le (2|9x-1|)^2$

$9x^2 \le 4(9x-1)^2$

$9x^2 \le 4(81x^2 - 18x + 1)$

$9x^2 \le 324x^2 - 72x + 4$

$0 \le 315x^2 - 72x + 4$

Решим квадратное неравенство $315x^2 - 72x + 4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $315x^2 - 72x + 4 = 0$.

$D = (-72)^2 - 4 \cdot 315 \cdot 4 = 5184 - 5040 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{72 - 12}{2 \cdot 315} = \frac{60}{630} = \frac{6}{63} = \frac{2}{21}$

$x_2 = \frac{72 + 12}{2 \cdot 315} = \frac{84}{630} = \frac{14}{105} = \frac{2}{15}$

Парабола $y = 315x^2 - 72x + 4$ имеет ветви вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение: $x \in (-\infty, \frac{2}{21}] \cup [\frac{2}{15}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{21}] \cup [\frac{2}{15}; \infty)$.