Номер 13.12, страница 80, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.12, страница 80.

13.12. a) $\sqrt[x]{3} \cdot \sqrt[x]{2} \ge \frac{\sqrt{6}}{36}$;

б) $\sqrt[x]{0,1} \cdot \sqrt[x]{0,4} \ge 0,0016$;

в) $\sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[x]{5} \ge \sqrt[4]{10}$;

г) $\sqrt[x]{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[x]{2} \le \frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}}$.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt[x]{3} \cdot \sqrt[x]{2} \ge \frac{\sqrt{6}}{36}$.

По определению корня, показатель $x$ должен быть натуральным числом, большим или равным 2 ($x \in \mathbb{N}, x \ge 2$).

Упростим левую часть неравенства, используя свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[x]{3 \cdot 2} = \sqrt[x]{6}$.

Теперь неравенство имеет вид: $\sqrt[x]{6} \ge \frac{\sqrt{6}}{36}$.

Для решения представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием 6.

Левая часть: $\sqrt[x]{6} = 6^{1/x}$.

Правая часть: $\frac{\sqrt{6}}{36} = \frac{6^{1/2}}{6^2} = 6^{\frac{1}{2} - 2} = 6^{-3/2}$.

Получаем показательное неравенство: $6^{1/x} \ge 6^{-3/2}$.

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя. Поэтому мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$\frac{1}{x} \ge -\frac{3}{2}$.

Из области определения $x \ge 2$, следует, что $x$ — положительное число. Тогда $\frac{1}{x}$ также является положительным числом. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому неравенство $\frac{1}{x} \ge -\frac{3}{2}$ справедливо для всех $x$ из области определения.

Ответ: $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$ (или $x \in \{2, 3, 4, ...\}$).

б)

Исходное неравенство: $\sqrt[x]{0,1} \cdot \sqrt[x]{0,4} \ge 0,0016$.

Область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Упростим левую часть: $\sqrt[x]{0,1 \cdot 0,4} = \sqrt[x]{0,04}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt[x]{0,04} \ge 0,0016$.

Представим обе части в виде степеней с одним основанием. Заметим, что $0,04 = 0,2^2$ и $0,0016 = 16 \cdot 10^{-4} = (2 \cdot 10^{-1})^4 = 0,2^4$.

Левая часть: $\sqrt[x]{0,04} = \sqrt[x]{(0,2)^2} = (0,2)^{2/x}$.

Получаем неравенство: $(0,2)^{2/x} \ge (0,2)^4$.

Так как основание степени $0,2$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение показателя. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{2}{x} \le 4$.

Так как по области определения $x$ — положительное число, мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака:

$2 \le 4x$

$x \ge \frac{2}{4}$

$x \ge \frac{1}{2}$.

Совмещая полученное условие $x \ge 1/2$ с областью определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$, мы видим, что решением являются все натуральные числа $x \ge 2$.

Ответ: $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

в)

Исходное неравенство: $\sqrt[x]{2} \cdot \sqrt[x]{5} \ge \sqrt[4]{10}$.

Область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Упростим левую часть: $\sqrt[x]{2 \cdot 5} = \sqrt[x]{10}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt[x]{10} \ge \sqrt[4]{10}$.

Представим обе части в виде степеней с основанием 10:

$10^{1/x} \ge 10^{1/4}$.

Так как основание $10 > 1$, показательная функция является возрастающей. Сохраняем знак неравенства для показателей:

$\frac{1}{x} \ge \frac{1}{4}$.

Поскольку $x \ge 2$, обе части неравенства положительны. Мы можем "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le 4$.

Учитывая область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$, получаем конечный набор целочисленных решений: $x=2, 3, 4$.

Ответ: $x \in \{2, 3, 4\}$.

г)

Исходное неравенство: $\sqrt[x]{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt[x]{2} \le \frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}}$.

Область определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$.

Упростим обе части неравенства.

Левая часть: $\sqrt[x]{\frac{1}{9} \cdot 2} = \sqrt[x]{\frac{2}{9}}$.

Правая часть: $\frac{\sqrt[15]{4}}{\sqrt[15]{81}} = \sqrt[15]{\frac{4}{81}}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt[x]{\frac{2}{9}} \le \sqrt[15]{\frac{4}{81}}$.

Чтобы решить это неравенство, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что подкоренное выражение в правой части является квадратом подкоренного выражения в левой: $\frac{4}{81} = (\frac{2}{9})^2$.

Правая часть: $\sqrt[15]{\frac{4}{81}} = \sqrt[15]{(\frac{2}{9})^2} = (\frac{2}{9})^{2/15}$.

Левая часть: $\sqrt[x]{\frac{2}{9}} = (\frac{2}{9})^{1/x}$.

Получаем показательное неравенство: $(\frac{2}{9})^{1/x} \le (\frac{2}{9})^{2/15}$.

Основание степени $\frac{2}{9}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$\frac{1}{x} \ge \frac{2}{15}$.

Так как $x \ge 2$, обе части неравенства положительны. Умножим обе части на $15x$ (что является положительным числом):

$15 \ge 2x$

$x \le \frac{15}{2}$

$x \le 7,5$.

С учетом области определения $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$, получаем множество натуральных решений:

Ответ: $x \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.