Номер 13.18, страница 81, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.18, страница 81.

13.18. а) $2^{|x-3|} \ge \sqrt[4]{2};$

б) $5^{|x+9|} \le \sqrt[3]{25};$

В) $\left(\frac{1}{4}\right)^{|x| \cdot (x-1)} \ge \frac{1}{16};$

Г) $(0,3)^{|x^2-1|} \le 0,027.$

а) $2^{|x-3|} \ge \sqrt[4]{2}$

Сначала представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 2:

$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$

Теперь неравенство выглядит так:

$2^{|x-3|} \ge 2^{\frac{1}{4}}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$|x-3| \ge \frac{1}{4}$

Это неравенство с модулем распадается на два случая:

1) $x-3 \ge \frac{1}{4}$

$x \ge 3 + \frac{1}{4}$

$x \ge \frac{12}{4} + \frac{1}{4}$

$x \ge \frac{13}{4}$

2) $x-3 \le -\frac{1}{4}$

$x \le 3 - \frac{1}{4}$

$x \le \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$

$x \le \frac{11}{4}$

Объединяя решения этих двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4}] \cup [\frac{13}{4}; +\infty)$.

б) $5^{|x+9|} \le \sqrt[3]{25}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5:

$\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$

Теперь неравенство имеет вид:

$5^{|x+9|} \le 5^{\frac{2}{3}}$

Основание степени $5 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$|x+9| \le \frac{2}{3}$

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-\frac{2}{3} \le x+9 \le \frac{2}{3}$

Вычтем 9 из всех частей неравенства:

$-\frac{2}{3} - 9 \le x \le \frac{2}{3} - 9$

$-\frac{2}{3} - \frac{27}{3} \le x \le \frac{2}{3} - \frac{27}{3}$

$-\frac{29}{3} \le x \le -\frac{25}{3}$

Ответ: $x \in [-\frac{29}{3}; -\frac{25}{3}]$.

в) $(\frac{1}{4})^{|x| \cdot (x-1)} \ge \frac{1}{16}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^2$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{4})^{|x|(x-1)} \ge (\frac{1}{4})^2$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{4} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$|x|(x-1) \le 2$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство становится:

$x(x-1) \le 2$

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-1, 2]$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем решение для этого случая: $x \in [0, 2]$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство становится:

$-x(x-1) \le 2$

$-x^2 + x \le 2$

$0 \le x^2 - x + 2$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - x + 2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), этот трехчлен всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^2 - x + 2 \ge 0$ верно для всех действительных чисел. Учитывая условие $x < 0$, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty, 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ: $(-\infty, 0) \cup [0, 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

г) $(0,3)^{|x^2-1|} \le 0,027$

Представим правую часть в виде степени с основанием 0,3:

$0,027 = (0,3)^3$

Неравенство принимает вид:

$(0,3)^{|x^2-1|} \le (0,3)^3$

Основание степени $0 < 0,3 < 1$, поэтому показательная функция убывающая. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$|x^2-1| \ge 3$

Это неравенство с модулем распадается на два случая:

1) $x^2-1 \ge 3$

$x^2 \ge 4$

$|x| \ge 2$, что дает $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

2) $x^2-1 \le -3$

$x^2 \le -2$

Это неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, решением является только результат первого случая.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.