Номер 13.24, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.24, страница 82.

13.24. a) $2^{x} + 2^{x+2} \le 20;$

б) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3};$

В) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5} > 6;$

Г) $0,3^{6x-1} - 0,3^{6x} \ge 0,7.$

а) $2^x + 2^{x+2} \le 20$

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$2^x + 4 \cdot 2^x \le 20$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 4) \le 20$

$5 \cdot 2^x \le 20$

Разделим обе части неравенства на 5:

$2^x \le 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$

б) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и вынесем общий множитель $3^{2x-3}$ за скобки (как степень с наименьшим показателем):

$3^{(2x-3)+2} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3} \cdot 3^2 - 3^{2x-3} \cdot 1 < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3}(3^2 - 1) < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3}(9 - 1) < \frac{8}{3}$

$8 \cdot 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Разделим обе части неравенства на 8:

$3^{2x-3} < \frac{1}{3}$

Представим $\frac{1}{3}$ в виде степени с основанием 3:

$3^{2x-3} < 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x - 3 < -1$

$2x < 2$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$

в) $(\frac{1}{5})^{3x+4} + (\frac{1}{5})^{3x+5} > 6$

Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{1}{5})^{3x+4}$:

$(\frac{1}{5})^{3x+4} + (\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot (\frac{1}{5})^1 > 6$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \left(1 + \frac{1}{5}\right) > 6$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot \frac{6}{5} > 6$

Умножим обе части неравенства на $\frac{5}{6}$:

$(\frac{1}{5})^{3x+4} > 6 \cdot \frac{5}{6}$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} > 5$

Представим обе части неравенства с основанием 5. Учтем, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$:

$(5^{-1})^{3x+4} > 5^1$

$5^{-(3x+4)} > 5^1$

$5^{-3x-4} > 5^1$

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-3x - 4 > 1$

$-3x > 5$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{5}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{3})$

г) $0,3^{6x-1} - 0,3^{6x} \ge 0,7$

Вынесем за скобки общий множитель $0,3^{6x}$:

$0,3^{6x} \cdot 0,3^{-1} - 0,3^{6x} \cdot 1 \ge 0,7$

$0,3^{6x} (0,3^{-1} - 1) \ge 0,7$

Вычислим выражение в скобках. $0,3 = \frac{3}{10}$, значит $0,3^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3}$:

$0,3^{6x} \left(\frac{10}{3} - 1\right) \ge 0,7$

$0,3^{6x} \cdot \frac{7}{3} \ge \frac{7}{10}$

Умножим обе части на $\frac{3}{7}$:

$0,3^{6x} \ge \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{7}$

$0,3^{6x} \ge \frac{3}{10}$

$0,3^{6x} \ge 0,3^1$

Так как основание степени $0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$6x \le 1$

$x \le \frac{1}{6}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{6}]$