Номер 13.29, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.29, страница 83.

13.29. a) $3^{3x} - 3^{2x+1} + 3^{x+1} - 1 \ge 0;$

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3x} - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} + 27 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x - 27 < 0;$

в) $2^{3x} + 15 \cdot 2^{2x} + 75 \cdot 2^x + 125 \le 0;$

г) $0,1^{3x} - 3 \cdot 0,01^x + 3 \cdot 0,1^x - 1 > 0.$

а) $3^{3x} - 3^{2x+1} + 3^{x+1} - 1 \ge 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3x} - 3^{2x} \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^1 - 1 \ge 0$

$(3^x)^3 - 3 \cdot (3^x)^2 + 3 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

$t^3 - 3t^2 + 3t - 1 \ge 0$

Левая часть неравенства представляет собой формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, где $a=t$ и $b=1$.

$(t-1)^3 \ge 0$

Это неравенство равносильно неравенству $t-1 \ge 0$, откуда $t \ge 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$3^x \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием 3: $1 = 3^0$.

$3^x \ge 3^0$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства сохраняется.

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{2})^{3x} - 9 \cdot (\frac{1}{2})^{2x} + 27 \cdot (\frac{1}{2})^x - 27 < 0$

Перепишем неравенство в виде:

$((\frac{1}{2})^x)^3 - 9 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2 + 27 \cdot (\frac{1}{2})^x - 27 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Условие $t > 0$.

$t^3 - 9t^2 + 27t - 27 < 0$

Левая часть является кубом разности $(t-3)^3 = t^3 - 3 \cdot t^2 \cdot 3 + 3 \cdot t \cdot 3^2 - 3^3 = t^3 - 9t^2 + 27t - 27$.

$(t-3)^3 < 0$

Это неравенство равносильно $t-3 < 0$, откуда $t < 3$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем систему $0 < t < 3$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < (\frac{1}{2})^x < 3$

Неравенство $(\frac{1}{2})^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решим вторую часть:

$(\frac{1}{2})^x < 3$

Так как основание степени $\frac{1}{2} < 1$, функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \log_{1/2}(3)$

Преобразуем логарифм: $\log_{1/2}(3) = \frac{\log_2(3)}{\log_2(1/2)} = \frac{\log_2(3)}{-1} = -\log_2(3)$.

$x > -\log_2(3)$

Ответ: $x \in (-\log_2(3), +\infty)$.

в) $2^{3x} + 15 \cdot 2^{2x} + 75 \cdot 2^x + 125 \le 0$

Перепишем неравенство:

$(2^x)^3 + 15 \cdot (2^x)^2 + 75 \cdot 2^x + 125 \le 0$

Сделаем замену $t = 2^x$. Условие $t > 0$.

$t^3 + 15t^2 + 75t + 125 \le 0$

Левая часть является кубом суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, где $a=t$ и $b=5$.

$(t+5)^3 \le 0$

Это неравенство равносильно $t+5 \le 0$, откуда $t \le -5$.

Получили систему условий для $t$:

$\begin{cases} t > 0 \\ t \le -5 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше нуля и меньше либо равно -5. Альтернативно, при $t=2^x > 0$ каждый член выражения $t^3 + 15t^2 + 75t + 125$ положителен, поэтому их сумма всегда строго больше нуля.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $0.1^{3x} - 3 \cdot 0.01^x + 3 \cdot 0.1^x - 1 > 0$

Преобразуем неравенство, учитывая, что $0.01 = 0.1^2$:

$0.1^{3x} - 3 \cdot (0.1^2)^x + 3 \cdot 0.1^x - 1 > 0$

$(0.1^x)^3 - 3 \cdot (0.1^x)^2 + 3 \cdot 0.1^x - 1 > 0$

Сделаем замену $t = 0.1^x$. Условие $t > 0$.

$t^3 - 3t^2 + 3t - 1 > 0$

Как и в пункте а), левая часть - это куб разности:

$(t-1)^3 > 0$

Это неравенство равносильно $t-1 > 0$, откуда $t > 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$0.1^x > 1$

Представим 1 как $0.1^0$.

$0.1^x > 0.1^0$

Так как основание степени $0.1 < 1$, функция $y=0.1^x$ является убывающей. Следовательно, при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства меняется на противоположный.

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.