Номер 13.33, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.33, страница 83.

13.33. a) $5^x - 30 \cdot (\sqrt{5})^x + 125 \ge 0;$

б) $0.2^x - 1.2 \cdot (\sqrt{0.2})^x + 0.2 \le 0;$

в) $3^{x+1} - 28 \cdot (\sqrt{3})^x + 9 \le 0;$

г) $7^{x+1} - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 \ge 0.$

а) Исходное неравенство: $5^x - 30 \cdot (\sqrt{5})^x + 125 \ge 0$.
Заметим, что $5^x = (5^{1/2})^{2x} = ((\sqrt{5})^x)^2$. Преобразуем неравенство к виду:
$((\sqrt{5})^x)^2 - 30 \cdot (\sqrt{5})^x + 125 \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{5})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$:
$t^2 - 30t + 125 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 30t + 125 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = 25$.
График функции $y = t^2 - 30t + 125$ — это парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $t \le 5$ или $t \ge 25$.
Вернемся к исходной переменной $x$, решив два неравенства:
1) $(\sqrt{5})^x \le 5 \Rightarrow 5^{x/2} \le 5^1$. Так как основание $5 > 1$, то $x/2 \le 1 \Rightarrow x \le 2$.
2) $(\sqrt{5})^x \ge 25 \Rightarrow 5^{x/2} \ge 5^2$. Так как основание $5 > 1$, то $x/2 \ge 2 \Rightarrow x \ge 4$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

б) Исходное неравенство: $0,2^x - 1,2 \cdot (\sqrt{0,2})^x + 0,2 \le 0$.
Заметим, что $0,2^x = ((\sqrt{0,2})^x)^2$. Преобразуем неравенство:
$((\sqrt{0,2})^x)^2 - 1,2 \cdot (\sqrt{0,2})^x + 0,2 \le 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{0,2})^x$. Так как $t$ - значение показательной функции, $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 1,2t + 0,2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 1,2t + 0,2 = 0$.
Дискриминант $D = (-1,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,2 = 1,44 - 0,8 = 0,64 = (0,8)^2$.
Корни: $t_1 = \frac{1,2 - 0,8}{2} = 0,2$ и $t_2 = \frac{1,2 + 0,8}{2} = 1$.
График функции $y = t^2 - 1,2t + 0,2$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется при $0,2 \le t \le 1$.
Возвращаемся к замене: $0,2 \le (\sqrt{0,2})^x \le 1$.
$0,2^1 \le 0,2^{x/2} \le 0,2^0$.
Так как основание $0,2 \in (0, 1)$, при переходе к показателям степени знаки неравенства меняются на противоположные:
$1 \ge x/2 \ge 0$.
Умножим все части на 2: $2 \ge x \ge 0$.
Ответ: $[0, 2]$.

в) Исходное неравенство: $3^{x+1} - 28 \cdot (\sqrt{3})^x + 9 \le 0$.
Используя свойства степеней, преобразуем неравенство: $3 \cdot 3^x - 28 \cdot 3^{x/2} + 9 \le 0$.
Так как $3^x = (3^{x/2})^2$, получаем: $3 \cdot (3^{x/2})^2 - 28 \cdot 3^{x/2} + 9 \le 0$.
Сделаем замену $t = 3^{x/2}$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $3t^2 - 28t + 9 \le 0$.
Найдем корни уравнения $3t^2 - 28t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.
Корни: $t_1 = \frac{28 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9$.
Парабола $y = 3t^2 - 28t + 9$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $\frac{1}{3} \le t \le 9$.
Возвращаемся к замене: $\frac{1}{3} \le 3^{x/2} \le 9$.
$3^{-1} \le 3^{x/2} \le 3^2$.
Так как основание $3 > 1$, то знаки неравенства для показателей сохраняются:
$-1 \le x/2 \le 2$.
Умножим все части на 2: $-2 \le x \le 4$.
Ответ: $[-2, 4]$.

г) Исходное неравенство: $7^{x+1} - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 \ge 0$.
Преобразуем неравенство: $7 \cdot 7^x - 50 \cdot 7^{x/2} + 7 \ge 0$.
$7 \cdot (7^{x/2})^2 - 50 \cdot 7^{x/2} + 7 \ge 0$.
Сделаем замену $t = 7^{x/2}$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $7t^2 - 50t + 7 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $7t^2 - 50t + 7 = 0$.
Дискриминант $D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.
Корни: $t_1 = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ и $t_2 = \frac{50 + 48}{14} = \frac{98}{14} = 7$.
Парабола $y = 7t^2 - 50t + 7$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le \frac{1}{7}$ или $t \ge 7$.
Вернемся к исходной переменной $x$, решив два неравенства:
1) $7^{x/2} \le \frac{1}{7} \Rightarrow 7^{x/2} \le 7^{-1}$. Так как основание $7 > 1$, то $x/2 \le -1 \Rightarrow x \le -2$.
2) $7^{x/2} \ge 7 \Rightarrow 7^{x/2} \ge 7^1$. Так как основание $7 > 1$, то $x/2 \ge 1 \Rightarrow x \ge 2$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.