Номер 13.40, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.40, страница 84.

Решите систему неравенств:

13.40. a) $\begin{cases} 2^{x+1} > 4, \\ 7^{3x-10} < 49; \end{cases}$ в) $\begin{cases} 0,4^{-x+3} < 0,16, \\ 0,1^{x^2+1} > 0,01; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^{4x+2,5} > \sqrt{2}, \\ 10^{x^2-1} > 1000; \end{cases}$ г) $\begin{cases} \sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1, \\ 0,2^{6-9x} \le 125. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2^{x+1} > 4, \\ 7^{3x-10} < 49; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $2^{x+1} > 4$.

Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.

Неравенство примет вид: $2^{x+1} > 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x+1 > 2$

$x > 2 - 1$

$x > 1$

2. Решим второе неравенство: $7^{3x-10} < 49$.

Представим число 49 в виде степени с основанием 7: $49 = 7^2$.

Неравенство примет вид: $7^{3x-10} < 7^2$.

Так как основание степени $7 > 1$, то знак неравенства сохраняется:

$3x-10 < 2$

$3x < 12$

$x < 4$

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 1$ и $x < 4$.

Таким образом, решение системы: $1 < x < 4$.

Ответ: $x \in (1; 4)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (\frac{1}{2})^{4x+2,5} > \sqrt{2}, \\ 10^{x^2-1} > 1000; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(\frac{1}{2})^{4x+2,5} > \sqrt{2}$.

Приведем обе части к основанию 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\sqrt{2} = 2^{0,5}$.

Неравенство примет вид: $(2^{-1})^{4x+2,5} > 2^{0,5}$, что равносильно $2^{-4x-2,5} > 2^{0,5}$.

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-4x-2,5 > 0,5$

$-4x > 3$

$x < -\frac{3}{4}$

2. Решим второе неравенство: $10^{x^2-1} > 1000$.

Представим 1000 как степень 10: $1000 = 10^3$.

Неравенство примет вид: $10^{x^2-1} > 10^3$.

Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2-1 > 3$

$x^2 > 4$

Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x < -2$ или $x > 2$.

3. Найдем пересечение решений: $x < -\frac{3}{4}$ и ($x < -2$ или $x > 2$).

Пересекая эти множества, получаем $x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,4^{-x+3} < 0,16, \\ 0,1^{x^2+1} > 0,01; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $0,4^{-x+3} < 0,16$.

Представим 0,16 как степень 0,4: $0,16 = 0,4^2$.

Неравенство примет вид: $0,4^{-x+3} < 0,4^2$.

Так как основание $0,4 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$-x+3 > 2$

$-x > -1$

$x < 1$

2. Решим второе неравенство: $0,1^{x^2+1} > 0,01$.

Представим 0,01 как степень 0,1: $0,01 = 0,1^2$.

Неравенство примет вид: $0,1^{x^2+1} > 0,1^2$.

Так как основание $0,1 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2+1 < 2$

$x^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

3. Найдем пересечение решений: $x < 1$ и $-1 < x < 1$.

Пересечением этих множеств является интервал $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1, \\ 0,2^{6-9x} \le 125. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $\sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1$.

Приведем все части к основанию 5: $\sqrt{5} = 5^{0,5}$ и $1 = 5^0$.

Неравенство примет вид: $5^{0,5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 5^0$.

Сложим показатели степеней в левой части: $5^{0,5+2x-0,5} \ge 5^0$, что равносильно $5^{2x} \ge 5^0$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$2x \ge 0$

$x \ge 0$

2. Решим второе неравенство: $0,2^{6-9x} \le 125$.

Приведем обе части к основанию 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $125 = 5^3$.

Неравенство примет вид: $(5^{-1})^{6-9x} \le 5^3$, что равносильно $5^{-6+9x} \le 5^3$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-6+9x \le 3$

$9x \le 9$

$x \le 1$

3. Найдем пересечение решений: $x \ge 0$ и $x \le 1$.

Пересечением этих множеств является отрезок $0 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.