Номер 13.42, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.42, страница 84.

13.42. Решите неравенство:

а) $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x - 27} \ge 0;$

б) $\frac{0.2^x - 0.008}{x^2 - 10x + 25} < 0;$

в) $\frac{25 - 0.2^x}{4x^2 - 4x + 1} \le 0;$

г) $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x - 27} \ge 0$. Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом $(x+2)^2$. Неравенство принимает вид $\frac{(x+2)^2}{3^x - 27} \ge 0$. Знаменатель не может быть равен нулю, то есть $3^x - 27 \ne 0$, откуда $3^x \ne 3^3$ и $x \ne 3$. Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно ($ \ge 0$). Неравенство выполняется в двух случаях: 1) Дробь равна нулю. Это возможно, только если числитель равен нулю: $(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x \ne 3$, поэтому является решением. 2) Дробь строго больше нуля. Если $x \ne -2$, то числитель $(x+2)^2 > 0$. В этом случае для выполнения неравенства требуется, чтобы и знаменатель был положителен: $3^x - 27 > 0 \implies 3^x > 27 \implies 3^x > 3^3$. Так как показательная функция с основанием $3 > 1$ является возрастающей, то $x > 3$. Объединяя полученные решения, получаем $x=-2$ и $x > 3$. Ответ: $x \in \{-2\} \cup (3, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{0.2^x - 0.008}{x^2 - 10x + 25} < 0$. Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель: $0.2^x - 0.008 = (0.2)^x - (0.2)^3$. Знаменатель: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$. Неравенство принимает вид $\frac{(0.2)^x - (0.2)^3}{(x-5)^2} < 0$. Знаменатель не может быть равен нулю: $(x-5)^2 \ne 0 \implies x \ne 5$. При всех $x \ne 5$ знаменатель $(x-5)^2$ строго положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Для выполнения неравенства числитель должен быть отрицательным: $(0.2)^x - (0.2)^3 < 0 \implies (0.2)^x < (0.2)^3$. Так как показательная функция с основанием $0.2 \in (0, 1)$ является убывающей, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 3$. Учитывая условие $x \ne 5$, получаем решение. Ответ: $x \in (3, 5) \cup (5, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{25 - 0.2^x}{4x^2 - 4x + 1} \le 0$. Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель: $25 - 0.2^x = 5^2 - (\frac{1}{5})^x = 5^2 - 5^{-x}$. Знаменатель: $4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2$. Неравенство принимает вид $\frac{5^2 - 5^{-x}}{(2x-1)^2} \le 0$. Знаменатель не может быть равен нулю: $(2x-1)^2 \ne 0 \implies x \ne 0.5$. При всех $x \ne 0.5$ знаменатель $(2x-1)^2$ строго положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Для выполнения неравенства числитель должен быть меньше либо равен нулю: $5^2 - 5^{-x} \le 0 \implies 5^2 \le 5^{-x}$. Так как показательная функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, то $2 \le -x$. Умножая обе части на -1, меняем знак неравенства: $-2 \ge x$, или $x \le -2$. Это решение удовлетворяет условию $x \ne 0.5$. Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0$. Преобразуем числитель: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$. Неравенство принимает вид $\frac{(x+3)^2}{2^x - 4} > 0$. Так как неравенство строгое, дробь не может быть равна нулю, следовательно, числитель не может быть равен нулю: $(x+3)^2 \ne 0 \implies x \ne -3$. При всех $x \ne -3$ числитель $(x+3)^2$ строго положителен. Чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть строго положителен: $2^x - 4 > 0 \implies 2^x > 4 \implies 2^x > 2^2$. Так как показательная функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, то $x > 2$. Это решение удовлетворяет условию $x \ne -3$. Ответ: $x \in (2, \infty)$.