Номер 13.46, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.46, страница 85.

13.46. a) При каких значениях параметра $a$ неравенство $9^x - 4(a - 1) \cdot 3^x + a > 1$ выполняется для любого значения $x$?

б) При каких значениях параметра $a$ неравенство $4^x - (a - 3) \cdot 2^{x+1} + 2a + 2 < 0$ не имеет решений?

a)

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $9^x - 4(a - 1) \cdot 3^x + a > 1$ выполняется для любого значения $x$.

Перепишем неравенство в виде: $9^x - 4(a - 1) \cdot 3^x + a - 1 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку $x$ может быть любым действительным числом ($x \in \mathbb{R}$), то переменная $t$ принимает все положительные значения, то есть $t > 0$.

С учетом замены исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$: $t^2 - 4(a - 1)t + a - 1 > 0$

Теперь задача сводится к нахождению всех таких значений параметра $a$, при которых это квадратное неравенство выполняется для всех $t > 0$.

Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 - 4(a - 1)t + a - 1$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше 0).

Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{-4(a - 1)}{2 \cdot 1} = 2(a - 1)$.

Для того чтобы неравенство $f(t) > 0$ выполнялось для всех $t > 0$, рассмотрим два случая в зависимости от положения вершины параболы $t_v$.

Случай 1: Вершина параболы находится левее или в точке $t=0$, то есть $t_v \le 0$. $2(a - 1) \le 0 \implies a - 1 \le 0 \implies a \le 1$. В этом случае на интервале $(0, +\infty)$ функция $f(t)$ является возрастающей. Чтобы она была положительной на всем этом интервале, достаточно, чтобы ее значение в точке $t=0$ было неотрицательным: $f(0) \ge 0$. $f(0) = 0^2 - 4(a-1) \cdot 0 + a - 1 = a - 1$. $a - 1 \ge 0 \implies a \ge 1$. Система условий для этого случая: $\begin{cases} a \le 1 \\ a \ge 1 \end{cases}$ Единственное решение этой системы — $a = 1$. При $a=1$ неравенство для $t$ имеет вид $t^2 > 0$, что верно для всех $t > 0$. Значит, $a=1$ является решением.

Случай 2: Вершина параболы находится правее $t=0$, то есть $t_v > 0$. $2(a - 1) > 0 \implies a > 1$. В этом случае наименьшее значение функции $f(t)$ на интервале $(0, +\infty)$ достигается в вершине. Чтобы неравенство $f(t) > 0$ выполнялось для всех $t > 0$, необходимо, чтобы значение функции в вершине было положительным: $f(t_v) > 0$. $f(t_v) = (2(a-1))^2 - 4(a-1)(2(a-1)) + a - 1 = 4(a-1)^2 - 8(a-1)^2 + a - 1 = -4(a-1)^2 + a - 1$. Решаем неравенство: $-4(a-1)^2 + a - 1 > 0$ $-4(a^2 - 2a + 1) + a - 1 > 0$ $-4a^2 + 8a - 4 + a - 1 > 0$ $-4a^2 + 9a - 5 > 0$ $4a^2 - 9a + 5 < 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $4a^2 - 9a + 5 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$. $a_1 = \frac{9-1}{8} = 1$, $a_2 = \frac{9+1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$. Решением неравенства $4a^2 - 9a + 5 < 0$ является интервал $(1, 5/4)$. Учитывая условие этого случая $a > 1$, получаем, что $a \in (1, 5/4)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $a=1$ и $a \in (1, 5/4)$. Итоговый промежуток: $a \in [1, 5/4)$.

Ответ: $a \in [1, 5/4)$.

б)

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $4^x - (a - 3) \cdot 2^{x+1} + 2a + 2 < 0$ не имеет решений.

Утверждение "неравенство не имеет решений" эквивалентно тому, что противоположное неравенство выполняется для всех допустимых значений $x$. То есть, неравенство $4^x - (a - 3) \cdot 2^{x+1} + 2a + 2 \ge 0$ должно выполняться для любого $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем неравенство: $(2^x)^2 - (a - 3) \cdot 2 \cdot 2^x + 2a + 2 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t^2 - 2(a - 3)t + 2a + 2 \ge 0$

Задача сводится к нахождению таких $a$, при которых это квадратное неравенство выполняется для всех $t > 0$.

Рассмотрим функцию $g(t) = t^2 - 2(a - 3)t + 2a + 2$. График — парабола с ветвями вверх.

Абсцисса вершины параболы: $t_v = -\frac{-2(a - 3)}{2 \cdot 1} = a - 3$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Вершина параболы находится левее или в точке $t=0$, то есть $t_v \le 0$. $a - 3 \le 0 \implies a \le 3$. На интервале $(0, +\infty)$ функция $g(t)$ возрастает. Для выполнения условия $g(t) \ge 0$ достаточно, чтобы $g(0) \ge 0$. $g(0) = 0^2 - 2(a-3) \cdot 0 + 2a + 2 = 2a + 2$. $2a + 2 \ge 0 \implies a \ge -1$. С учетом условия $a \le 3$ получаем решение для этого случая: $a \in [-1, 3]$.

Случай 2: Вершина параболы находится правее $t=0$, то есть $t_v > 0$. $a - 3 > 0 \implies a > 3$. Наименьшее значение функции на $(0, +\infty)$ достигается в вершине. Необходимо, чтобы $g(t_v) \ge 0$. $g(t_v) = (a-3)^2 - 2(a-3)(a-3) + 2a + 2 = -(a-3)^2 + 2a + 2$. Решаем неравенство: $-(a^2 - 6a + 9) + 2a + 2 \ge 0$ $-a^2 + 6a - 9 + 2a + 2 \ge 0$ $-a^2 + 8a - 7 \ge 0$ $a^2 - 8a + 7 \le 0$ Корни квадратного трехчлена $a^2 - 8a + 7 = 0$ равны $a_1 = 1$ и $a_2 = 7$. Решением неравенства является отрезок $[1, 7]$. Учитывая условие этого случая $a > 3$, получаем $a \in (3, 7]$.

Объединяя решения из обоих случаев, $a \in [-1, 3] \cup (3, 7]$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in [-1, 7]$.