Номер 14.2, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.2, страница 85.

14.2. а) $\log_2 2 = 1$;

б) $\log_2 4\sqrt{2} = 2,5$;

в) $\log_{0,1} 0,1 = 1$;

г) $\lg 100\sqrt[5]{10} = 2,2$.

а) Проверим истинность равенства $\log_2 2 = 1$.

Согласно основному свойству логарифмов, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице: $\log_a a = 1$.

В данном случае основание $a=2$ и число под логарифмом тоже равно 2, следовательно, равенство $\log_2 2 = 1$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

б) Проверим истинность равенства $\log_2 4\sqrt{2} = 2,5$.

Для вычисления значения логарифма преобразуем выражение под знаком логарифма, $4\sqrt{2}$, представив его как степень с основанием 2.

Поскольку $4 = 2^2$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, то:

$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2}$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем:

$2^{2 + 1/2} = 2^{5/2} = 2^{2,5}$

Теперь подставим полученное значение обратно в логарифм:

$\log_2 (2^{2,5})$

Используя свойство логарифма $\log_a (a^x) = x$, получаем:

$\log_2 (2^{2,5}) = 2,5$

Следовательно, равенство $\log_2 4\sqrt{2} = 2,5$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

в) Проверим истинность равенства $\log_{0,1} 0,1 = 1$.

Как и в пункте а), воспользуемся свойством $\log_a a = 1$.

В данном случае основание $a=0,1$ и число под логарифмом также равно 0,1. Таким образом, равенство $\log_{0,1} 0,1 = 1$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

г) Проверим истинность равенства $\lg 100\sqrt[5]{10} = 2,2$.

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10 ($\lg x = \log_{10} x$).

Преобразуем выражение под знаком логарифма, $100\sqrt[5]{10}$, представив его как степень с основанием 10.

Поскольку $100 = 10^2$ и $\sqrt[5]{10} = 10^{1/5}$, то:

$100\sqrt[5]{10} = 10^2 \cdot 10^{1/5}$

Используя свойство умножения степеней, получаем:

$10^{2 + 1/5} = 10^{10/5 + 1/5} = 10^{11/5}$

Преобразуем показатель степени в десятичную дробь: $11/5 = 2,2$.

Таким образом, $100\sqrt[5]{10} = 10^{2,2}$.

Подставим это значение в логарифм:

$\lg(10^{2,2}) = \log_{10}(10^{2,2})$

Используя свойство $\log_a (a^x) = x$, получаем:

$\log_{10}(10^{2,2}) = 2,2$

Следовательно, равенство $\lg 100\sqrt[5]{10} = 2,2$ является верным.

Ответ: Равенство верно.