Номер 14.5, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.5, страница 86.

14.5. a) $\log_{\sqrt{7}} 49$;

б) $\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8})$;

в) $\log_{\frac{1}{15}} 225 \sqrt[3]{15}$;

г) $\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729}$.

а) Для вычисления значения $\log_{\sqrt{7}} 49$ необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание $\sqrt{7}$, чтобы получить число $49$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, в данном случае числа 7.
Основание: $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$.
Аргумент: $49 = 7^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\log_{\sqrt{7}} 49 = \log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^2)$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^2) = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_7 7$.
Так как $\log_7 7 = 1$, получаем:
$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

б) Для вычисления значения $\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8})$ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 2.
Основание: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Упростим аргумент: $2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Представим аргумент в виде степени числа 2: $4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$.
Подставим полученные значения в логарифм:
$\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8}) = \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{5}{2}})$.
Используем свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{5}{2}}) = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} \log_2 2$.
Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:
$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{1} = 5$.
Ответ: 5

в) Для вычисления значения $\log_{\frac{1}{15}} (225 \sqrt[3]{15})$ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 15.
Основание: $\frac{1}{15} = 15^{-1}$.
Представим аргумент $225 \sqrt[3]{15}$ в виде степени числа 15:
$225 = 15^2$.
$\sqrt[3]{15} = 15^{\frac{1}{3}}$.
$225 \sqrt[3]{15} = 15^2 \cdot 15^{\frac{1}{3}} = 15^{2+\frac{1}{3}} = 15^{\frac{7}{3}}$.
Подставим полученные значения в логарифм:
$\log_{\frac{1}{15}} (225 \sqrt[3]{15}) = \log_{15^{-1}} (15^{\frac{7}{3}})$.
Используем свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{15^{-1}} (15^{\frac{7}{3}}) = \frac{\frac{7}{3}}{-1} \log_{15} 15$.
Так как $\log_{15} 15 = 1$, получаем:
$\frac{\frac{7}{3}}{-1} = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $-\frac{7}{3}$

г) Для вычисления значения $\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729}$ необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание $\frac{3}{2}$, чтобы получить число $\frac{64}{729}$.
Представим аргумент $\frac{64}{729}$ в виде степени основания $\frac{3}{2}$.
Сначала представим числитель и знаменатель дроби в виде степеней:
$64 = 2^6$.
$729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
Таким образом, $\frac{64}{729} = \frac{2^6}{3^6} = (\frac{2}{3})^6$.
Теперь выразим $(\frac{2}{3})^6$ через основание $\frac{3}{2}$. Так как $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$, то:
$(\frac{2}{3})^6 = ((\frac{3}{2})^{-1})^6 = (\frac{3}{2})^{-6}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729} = \log_{\frac{3}{2}} ((\frac{3}{2})^{-6})$.
По определению логарифма $\log_a a^x = x$, получаем:
$\log_{\frac{3}{2}} ((\frac{3}{2})^{-6}) = -6$.
Ответ: -6