Номер 13.49, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.49, страница 85.

13.49. Из всех целых чисел, которые не являются решениями неравенства $ (10^{4x-9} - 1)(3^{5x-21} - 1) \ge 0 $, найдите число, наименее удаленное от множества решений этого неравенства.

Сначала решим неравенство $(10^{4x-9} - 1)(3^{5x-21} - 1) \ge 0$.

Для решения используем метод интервалов. Найдем нули каждого множителя, приравняв их к нулю:

1) $10^{4x-9} - 1 = 0 \implies 10^{4x-9} = 1 \implies 10^{4x-9} = 10^0$.
$4x - 9 = 0 \implies x = \frac{9}{4} = 2.25$.

2) $3^{5x-21} - 1 = 0 \implies 3^{5x-21} = 1 \implies 3^{5x-21} = 3^0$.
$5x - 21 = 0 \implies x = \frac{21}{5} = 4.2$.

Отметим на числовой оси точки $x=2.25$ и $x=4.2$. Эти точки делят ось на три интервала. Определим знаки произведения $(10^{4x-9} - 1)(3^{5x-21} - 1)$ на каждом интервале:

– при $x > 4.2$ оба множителя положительны, их произведение положительно;
– при $2.25 < x < 4.2$ множитель $(10^{4x-9} - 1)$ положителен, а множитель $(3^{5x-21} - 1)$ отрицателен, их произведение отрицательно;
– при $x < 2.25$ оба множителя отрицательны, их произведение положительно.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение включаются точки, где произведение равно нулю. Таким образом, множество решений неравенства: $x \in (-\infty; 2.25] \cup [4.2; +\infty)$.

Далее найдем все целые числа, которые не являются решениями данного неравенства. Эти числа должны принадлежать интервалу $(2.25; 4.2)$.

В этот интервал попадают целые числа $3$ и $4$.

Теперь необходимо найти, какое из этих двух чисел, $3$ или $4$, наименее удалено от множества решений $S = (-\infty; 2.25] \cup [4.2; +\infty)$. Расстояние от точки до множества — это кратчайшее расстояние от этой точки до какой-либо точки множества. Для чисел $3$ и $4$ ближайшими точками множества $S$ являются его граничные точки $2.25$ и $4.2$.

Вычислим расстояние от числа $3$ до множества $S$:

$d_3 = \min(|3 - 2.25|, |3 - 4.2|) = \min(0.75, 1.2) = 0.75$.

Вычислим расстояние от числа $4$ до множества $S$:

$d_4 = \min(|4 - 2.25|, |4 - 4.2|) = \min(1.75, 0.2) = 0.2$.

Сравнивая полученные расстояния, видим, что $0.2 < 0.75$, то есть $d_4 < d_3$. Следовательно, число $4$ является наименее удаленным от множества решений.

Ответ: 4