Номер 13.47, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.47, страница 85.

13.47. Найдите количество всех целых решений неравенства

$4^{x-1} - 9 \cdot 2^x + 32 \le 0$.

Для решения показательного неравенства $4^{x-1} - 9 \cdot 2^x + 32 \le 0$ приведем все степенные выражения к одному основанию 2.

Поскольку $4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2} = 2^{2x} \cdot 2^{-2} = \frac{(2^x)^2}{4}$, исходное неравенство можно переписать в виде:

$\frac{(2^x)^2}{4} - 9 \cdot 2^x + 32 \le 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Неравенство примет вид квадратного неравенства относительно $t$:

$\frac{t^2}{4} - 9t + 32 \le 0$.

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$t^2 - 36t + 128 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 36t + 128 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 36, а их произведение равно 128. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 32$.

Графиком функции $y = t^2 - 36t + 128$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($\le 0$) на отрезке между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:

$4 \le t \le 32$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2^x$:

$4 \le 2^x \le 32$.

Представим числа 4 и 32 как степени двойки:

$2^2 \le 2^x \le 2^5$.

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y = 2^x$ является возрастающей, поэтому можно перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знаки неравенства:

$2 \le x \le 5$.

Решением неравенства является отрезок $[2, 5]$. Нас интересует количество целых решений. Целыми числами на этом отрезке являются 2, 3, 4, 5.

Их количество равно 4.

Ответ: 4.