Номер 13.41, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.41, страница 84.

13.41. a) $\begin{cases} 3^{2x+1} \ge 9, \\ 0,5^{x-1} \le 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (0,3)^{-4x+1} \le \frac{100}{9}, \\ 10^{2x+4} \ge 1; \end{cases}$

B) $\begin{cases} (\sqrt{3})^{6x-2} \ge \frac{1}{81}, \\ (0,2)^{3x+1} \le 5^{x-1}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (\sqrt{2})^{-3x-1} \le 2\sqrt{2}, \\ (\sqrt{0,4})^{4x-2} > 0,16. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} 3^{2x+1} \ge 9 \\ 0,5x - 1 \le 2 \end{cases} $$1) Решим первое неравенство: $3^{2x+1} \ge 9$.
Представим $9$ в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
Неравенство принимает вид: $3^{2x+1} \ge 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$2x+1 \ge 2$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$.
2) Решим второе неравенство: $0,5x - 1 \le 2$.
Это линейное неравенство:
$0,5x \le 3$
$x \le 6$.
3) Найдем пересечение решений обоих неравенств. Решением системы является пересечение промежутков $[\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-\infty; 6]$.
Таким образом, $x \in [\frac{1}{2}; 6]$.
Ответ: $[\frac{1}{2}; 6]$.

б) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} (0,3)^{-4x+1} \le \frac{100}{9} \\ 10^{2x+4} \ge 1 \end{cases} $$1) Решим первое неравенство: $(0,3)^{-4x+1} \le \frac{100}{9}$.
Представим обе части неравенства как степени с одним основанием $0,3$.
$0,3 = \frac{3}{10}$, а $\frac{100}{9} = (\frac{10}{3})^2 = ((\frac{3}{10})^{-1})^2 = (0,3)^{-2}$.
Неравенство принимает вид: $(0,3)^{-4x+1} \le (0,3)^{-2}$.
Так как основание $0,3 < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, знак неравенства меняется на противоположный:
$-4x + 1 \ge -2$
$-4x \ge -3$
$x \le \frac{3}{4}$.
2) Решим второе неравенство: $10^{2x+4} \ge 1$.
Представим $1$ как $10^0$.
$10^{2x+4} \ge 10^0$.
Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$2x + 4 \ge 0$
$2x \ge -4$
$x \ge -2$.
3) Решением системы является пересечение множеств решений $x \le \frac{3}{4}$ и $x \ge -2$.
Таким образом, $x \in [-2; \frac{3}{4}]$.
Ответ: $[-2; \frac{3}{4}]$.

в) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} (\sqrt{3})^{6x-2} \ge \frac{1}{81} \\ (0,2)^{3x+1} \le 5^{x-1} \end{cases} $$1) Решим первое неравенство: $(\sqrt{3})^{6x-2} \ge \frac{1}{81}$.
Приведем обе части к основанию 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
$(3^{\frac{1}{2}})^{6x-2} \ge 3^{-4}$
$3^{3x-1} \ge 3^{-4}$.
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$3x - 1 \ge -4$
$3x \ge -3$
$x \ge -1$.
2) Решим второе неравенство: $(0,2)^{3x+1} \le 5^{x-1}$.
Приведем обе части к основанию 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$(5^{-1})^{3x+1} \le 5^{x-1}$
$5^{-3x-1} \le 5^{x-1}$.
Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$-3x - 1 \le x - 1$
$-4x \le 0$
$x \ge 0$.
3) Решением системы является пересечение множеств решений $x \ge -1$ и $x \ge 0$.
Таким образом, $x \in [0; +\infty)$.
Ответ: $[0; +\infty)$.

г) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} (\sqrt{2})^{-3x-1} \le 2\sqrt{2} \\ (\sqrt{0,4})^{4x-2} > 0,16 \end{cases} $$1) Решим первое неравенство: $(\sqrt{2})^{-3x-1} \le 2\sqrt{2}$.
Приведем обе части к основанию 2: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ и $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
$(2^{\frac{1}{2}})^{-3x-1} \le 2^{\frac{3}{2}}$
$2^{\frac{-3x-1}{2}} \le 2^{\frac{3}{2}}$.
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\frac{-3x-1}{2} \le \frac{3}{2}$
$-3x - 1 \le 3$
$-3x \le 4$
$x \ge -\frac{4}{3}$.
2) Решим второе неравенство: $(\sqrt{0,4})^{4x-2} > 0,16$.
Приведем обе части к основанию 0,4: $\sqrt{0,4} = (0,4)^{\frac{1}{2}}$ и $0,16 = (0,4)^2$.
$((0,4)^{\frac{1}{2}})^{4x-2} > (0,4)^2$
$(0,4)^{2x-1} > (0,4)^2$.
Так как основание $0,4 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$2x - 1 < 2$
$2x < 3$
$x < \frac{3}{2}$.
3) Решением системы является пересечение множеств решений $x \ge -\frac{4}{3}$ и $x < \frac{3}{2}$.
Таким образом, $x \in [-\frac{4}{3}; \frac{3}{2})$.
Ответ: $[-\frac{4}{3}; \frac{3}{2})$.