Номер 13.38, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.38, страница 84.

13.38. a) $x \cdot 2^x < 8;$

б) $x \cdot (0,5)^x \ge -8.$

а) $x \cdot 2^x < 8$

Для решения данного неравенства воспользуемся функционально-графическим методом. Рассмотрим функцию $f(x) = x \cdot 2^x$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) < 8$.

Разобьем решение на два случая в зависимости от знака $x$.

1. Пусть $x \le 0$.
Если $x=0$, то $0 \cdot 2^0 = 0 \cdot 1 = 0$. Неравенство $0 < 8$ верно. Значит, $x=0$ является решением.
Если $x < 0$, то множитель $x$ отрицателен, а множитель $2^x$ всегда положителен. Следовательно, их произведение $x \cdot 2^x$ будет отрицательным. Любое отрицательное число меньше 8. Таким образом, все значения $x < 0$ являются решениями неравенства.

Объединяя эти два подслучая, получаем, что все $x$ из промежутка $(-\infty, 0]$ являются решениями.

2. Пусть $x > 0$.
В этом случае оба множителя, $x$ и $2^x$, положительны. Функция $y=x$ является возрастающей, и функция $y=2^x$ также является возрастающей при $x>0$. Произведение двух положительных возрастающих функций есть функция возрастающая. Следовательно, функция $f(x) = x \cdot 2^x$ является строго возрастающей на промежутке $(0, +\infty)$.

Найдем корень уравнения $x \cdot 2^x = 8$. Методом подбора легко найти, что $x=2$ является корнем, так как $2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает при $x > 0$ и $f(2)=8$, то неравенство $f(x) < 8$ будет выполняться для всех $x$ из интервала $(0, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $(-\infty, 0] \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

б) $x \cdot (0.5)^x \ge -8$

Рассмотрим функцию $g(x) = x \cdot (0.5)^x$. Нам нужно решить неравенство $g(x) \ge -8$.

Также как и в предыдущем пункте, рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \ge 0$.
Если $x=0$, то $0 \cdot (0.5)^0 = 0 \cdot 1 = 0$. Неравенство $0 \ge -8$ верно. Значит, $x=0$ является решением.
Если $x > 0$, то множитель $x$ положителен, и множитель $(0.5)^x$ также положителен. Следовательно, их произведение $g(x) = x \cdot (0.5)^x$ будет положительным. Любое положительное число больше или равно -8. Таким образом, все значения $x > 0$ являются решениями.

Следовательно, все $x$ из промежутка $[0, +\infty)$ являются решениями неравенства.

2. Пусть $x < 0$.
В этом случае неравенство имеет вид $x \cdot (0.5)^x \ge -8$. Преобразуем $(0.5)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$. Неравенство примет вид $x \cdot 2^{-x} \ge -8$.

Для анализа поведения функции $g(x) = x \cdot 2^{-x}$ найдем ее производную: $g'(x) = (x)' \cdot 2^{-x} + x \cdot (2^{-x})' = 1 \cdot 2^{-x} + x \cdot (2^{-x} \cdot \ln(2) \cdot (-1)) = 2^{-x}(1 - x \ln 2)$.

При $x < 0$, множитель $2^{-x}$ всегда положителен. Выражение $1 - x \ln 2$ также будет положительным, так как $x < 0$ и $\ln 2 > 0$, следовательно $-x \ln 2 > 0$. Таким образом, $g'(x) > 0$ для всех $x < 0$. Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на промежутке $(-\infty, 0)$.

Найдем корень уравнения $x \cdot (0.5)^x = -8$. Методом подбора проверяем целые отрицательные числа. Пусть $x=-2$. Тогда $g(-2) = -2 \cdot (0.5)^{-2} = -2 \cdot (2^2) = -2 \cdot 4 = -8$.

Мы нашли, что $g(-2) = -8$. Так как функция $g(x)$ строго возрастает при $x<0$, то неравенство $g(x) \ge -8$ будет выполняться для всех $x \ge -2$. Учитывая, что мы рассматриваем случай $x<0$, решением на этом промежутке будет интервал $[-2, 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $[-2, 0) \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2, +\infty)$.