Номер 13.35, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.35, страница 84.

13.35. a) $2^{2-x} > 2x - 3$;

б) $3^{3-2x} \leq 2x + 1$.

а) $2^{2-x} > 2x - 3$

Данное неравенство является трансцендентным, так как переменная $x$ входит и в показатель степени, и в линейное выражение. Такие неравенства обычно решаются с помощью анализа свойств функций.

Рассмотрим две функции: левую часть неравенства $f(x) = 2^{2-x}$ и правую часть $g(x) = 2x - 3$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых $f(x) > g(x)$.

1. Проанализируем функцию $f(x) = 2^{2-x}$. Это показательная функция. Ее можно представить как $f(x) = 2^2 \cdot 2^{-x} = \frac{4}{2^x}$. Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ является возрастающей, следовательно, функция $f(x) = \frac{4}{2^x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения (все действительные числа).

2. Проанализируем функцию $g(x) = 2x - 3$. Это линейная функция, ее график — прямая. Так как угловой коэффициент $k=2$ положителен, функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

Поскольку одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$2^{2-x} = 2x - 3$

Решим это уравнение методом подбора. Проверим целочисленные значения $x$.

Пусть $x=2$.

Левая часть: $f(2) = 2^{2-2} = 2^0 = 1$.

Правая часть: $g(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

Поскольку $f(2) = g(2)$, точка $x=2$ является единственной точкой пересечения графиков функций.

Теперь вернемся к исходному неравенству $f(x) > g(x)$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, и они равны при $x=2$, то для всех $x < 2$ будет выполняться неравенство $f(x) > g(x)$, а для всех $x > 2$ будет выполняться обратное неравенство $f(x) < g(x)$.

Следовательно, решением неравенства $2^{2-x} > 2x - 3$ является интервал $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

б) $3^{3-2x} \le 2x + 1$

Это также трансцендентное неравенство. Применим тот же метод анализа функций.

Введем функции $f(x) = 3^{3-2x}$ и $g(x) = 2x + 1$. Требуется найти значения $x$, для которых $f(x) \le g(x)$.

1. Функция $f(x) = 3^{3-2x}$ является показательной. Показатель степени $3-2x$ — убывающая линейная функция. Так как основание $3 > 1$, функция $f(x)$ является монотонно убывающей на всей числовой оси.

2. Функция $g(x) = 2x + 1$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $k=2$, следовательно, она монотонно возрастает на всей числовой оси.

Так как одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, они могут иметь не более одной общей точки. Найдем точку их пересечения из уравнения $f(x) = g(x)$:

$3^{3-2x} = 2x + 1$

С помощью подбора найдем корень. Проверим $x=1$.

Левая часть: $f(1) = 3^{3-2(1)} = 3^1 = 3$.

Правая часть: $g(1) = 2(1) + 1 = 3$.

Значения совпали, значит, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Теперь решим неравенство $f(x) \le g(x)$. Равенство достигается при $x=1$. Поскольку $f(x)$ — убывающая, а $g(x)$ — возрастающая, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться для всех $x$, больших точки пересечения, то есть при $x > 1$.

Объединяя равенство и строгое неравенство, получаем, что $f(x) \le g(x)$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.