Номер 13.34, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.34, страница 84.

Решите неравенство:

13.34. а) $5^x \le -x + 6;$

в) $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5;$

б) $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1;$

г) $3^x \ge -x + 4.$

а) $5^x \le -x + 6$

Данное неравенство является трансцендентным, так как в него входят функции разного типа (показательная и линейная). Такие неравенства, как правило, решаются графическим или функционально-графическим методом.

Рассмотрим две функции: $y_1 = 5^x$ (левая часть неравенства) и $y_2 = -x + 6$ (правая часть неравенства).

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная. Так как основание степени $5 > 1$, функция является строго возрастающей на всей числовой оси.

Функция $y_2 = -x + 6$ — линейная. Её график — прямая с угловым коэффициентом $k=-1$, поэтому функция является строго убывающей на всей числовой оси.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения, решив уравнение $y_1 = y_2$:

$5^x = -x + 6$

Подбором находим, что $x=1$ является корнем уравнения:

$5^1 = 5$
$-1 + 6 = 5$
$5 = 5$

Так как корень единственный, графики функций пересекаются в точке с абсциссой $x=1$.

Теперь решим неравенство $5^x \le -x + 6$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = 5^x$ лежит не выше графика функции $y_2 = -x + 6$.

Так как $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то для всех $x < 1$ будет выполняться $y_1(x) < y_1(1)$ и $y_2(x) > y_2(1)$, то есть $5^x < 5$ и $-x+6 > 5$, откуда следует $5^x < -x+6$. При $x=1$ функции равны. Таким образом, неравенство $5^x \le -x + 6$ выполняется при $x \le 1$.

Ответ: $(-\infty; 1]$.

б) $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1$

Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = 3x + 1$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная. Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция является строго убывающей.

Функция $y_2 = 3x + 1$ — линейная, с угловым коэффициентом $k=3 > 0$, следовательно, она является строго возрастающей.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее из уравнения $(\frac{1}{4})^x = 3x + 1$.

Подбором находим, что $x=0$ является корнем:

$(\frac{1}{4})^0 = 1$
$3(0) + 1 = 1$
$1 = 1$

Следовательно, графики пересекаются в точке с абсциссой $x=0$.

Нам нужно решить неравенство $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1$, то есть найти $x$, при которых график $y_1$ находится выше графика $y_2$.

Так как $y_1$ убывает, а $y_2$ возрастает, то при $x < 0$ будет выполняться $y_1(x) > y_1(0)=1$ и $y_2(x) < y_2(0)=1$. Следовательно, при $x < 0$ выполняется $y_1 > y_2$. При $x > 0$ знаки меняются, и $y_1 < y_2$.

Таким образом, решение неравенства — это промежуток $x < 0$.

Ответ: $(-\infty; 0)$.

в) $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5$

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = 0,5x + 5$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — показательная, с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, поэтому она строго убывает.

Функция $y_2 = 0,5x + 5$ — линейная, с угловым коэффициентом $k=0,5 > 0$, поэтому она строго возрастает.

Их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем ее, решив уравнение $(\frac{1}{2})^x = 0,5x + 5$.

Подбором находим корень $x=-2$:

$(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$
$0,5(-2) + 5 = -1 + 5 = 4$
$4 = 4$

Точка пересечения имеет абсциссу $x=-2$.

Решаем неравенство $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5$. Мы ищем значения $x$, при которых график $y_1$ находится ниже графика $y_2$.

Поскольку $y_1$ убывает, а $y_2$ возрастает, то при $x > -2$ значения $y_1$ будут меньше, чем в точке пересечения ($y_1(x) < 4$), а значения $y_2$ будут больше ($y_2(x) > 4$). Следовательно, при $x > -2$ выполняется неравенство $y_1 < y_2$.

Ответ: $(-2; +\infty)$.

г) $3^x \ge -x + 4$

Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ и $y_2 = -x + 4$.

Функция $y_1 = 3^x$ — показательная, с основанием $3 > 1$, строго возрастающая.

Функция $y_2 = -x + 4$ — линейная, с угловым коэффициентом $k=-1 < 0$, строго убывающая.

Их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее из уравнения $3^x = -x + 4$.

Подбором находим корень $x=1$:

$3^1 = 3$
$-1 + 4 = 3$
$3 = 3$

Точка пересечения имеет абсциссу $x=1$.

Решаем неравенство $3^x \ge -x + 4$. Мы ищем значения $x$, при которых график $y_1$ находится не ниже графика $y_2$.

Поскольку $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то при $x > 1$ значения $y_1$ будут больше, чем в точке пересечения ($y_1(x) > 3$), а значения $y_2$ будут меньше ($y_2(x) < 3$). Следовательно, при $x > 1$ выполняется неравенство $y_1 > y_2$. В точке $x=1$ функции равны.

Таким образом, неравенство $3^x \ge -x + 4$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$.