Номер 13.27, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.27, страница 82.

13.27. Решите неравенство:

а) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0;$

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0;$

в) $0,2^{2x} - 1,2 \cdot 0,2^x + 0,2 > 0;$

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x - 7 < 0.$

а) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0$

Это показательное неравенство, которое сводится к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Перепишем неравенство в терминах $t$:

$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0$

$t^2 - 4t + 3 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $y = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).

Таким образом, решение для $t$ есть $1 \le t \le 3$.

Вернемся к переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 3^x$:

$1 \le 3^x \le 3$

Представим 1 и 3 как степени с основанием 3:

$3^0 \le 3^x \le 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к показателям степени знаки неравенства сохраняются:

$0 \le x \le 1$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$, так как $3^x$ при $x \in [0, 1]$ принимает значения от 1 до 3.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0$

Это показательное неравенство. Сделаем замену переменной.

Пусть $t = 5^x$. Учитывая, что $5^x > 0$ для любого $x$, получаем условие $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 + 4t - 5 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 4t - 5 = 0$.

По теореме Виета, корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

График функции $y = t^2 + 4t - 5$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.

Следовательно, $t \le -5$ или $t \ge 1$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -5$. Остается только $t \ge 1$.

Выполним обратную замену $t = 5^x$:

$5^x \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием 5:

$5^x \ge 5^0$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y=5^x$ возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

в) $0,2^{2x} - 1,2 \cdot 0,2^x + 0,2 > 0$

Данное неравенство является показательным и сводится к квадратному.

Введем замену переменной: $t = 0.2^x$. Поскольку $0.2^x$ всегда положительно, имеем $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 1.2t + 0.2 > 0$

Для решения найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 1.2t + 0.2 = 0$.

Можно умножить уравнение на 5 для удобства вычислений: $5t^2 - 6t + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$ и $t_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

График функции $y = t^2 - 1.2t + 0.2$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется, когда $t$ лежит вне интервала между корнями.

Таким образом, $t < 0.2$ или $t > 1$.

С учетом ограничения $t > 0$, получаем два случая: $0 < t < 0.2$ или $t > 1$.

Произведем обратную замену $t = 0.2^x$.

1) $0.2^x < 0.2$.

$0.2^x < 0.2^1$. Так как основание $0.2 < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.

2) $0.2^x > 1$.

$0.2^x > 0.2^0$. Так как основание $0.2 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется: $x < 0$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

г) $(\frac{1}{7})^{2x} + 6 \cdot (\frac{1}{7})^x - 7 < 0$

Это показательное неравенство, которое решается заменой переменной.

Пусть $t = (\frac{1}{7})^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид:

$t^2 + 6t - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

График функции $y = t^2 + 6t - 7$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Значит, $-7 < t < 1$.

Совместим это решение с условием $t > 0$, получаем: $0 < t < 1$.

Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{7})^x$:

$0 < (\frac{1}{7})^x < 1$

Левая часть неравенства, $(\frac{1}{7})^x > 0$, выполняется для любого $x$.

Рассмотрим правую часть:

$(\frac{1}{7})^x < 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{1}{7}$:

$(\frac{1}{7})^x < (\frac{1}{7})^0$

Так как основание степени $\frac{1}{7} < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{7})^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к показателям степени знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 0$

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.