Номер 13.22, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.22, страница 82.

13.22. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $5^{x^2-2x} \leq 125;$

б) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x} \geq \frac{1}{49};$

в) $2^{-x^2+8x} > 128;$

г) $(0,3)^{x^2-x} > 0,09?$

а)

Рассмотрим показательное неравенство $5^{x^2 - 2x} \le 125$.
Первым шагом приведем обе части неравенства к одному основанию. В данном случае это основание 5. Так как $125 = 5^3$, неравенство можно переписать в виде: $5^{x^2 - 2x} \le 5^3$.
Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется: $x^2 - 2x \le 3$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета (сумма корней равна 2, произведение равно -3), находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $x \in [-1; 3]$.
Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: -1, 0, 1, 2, 3. Их количество равно 5.

Ответ: 5.

б)

Рассмотрим неравенство $(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \ge \frac{1}{49}$.
Приведем обе части к основанию $\frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$, получаем: $(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \ge (\frac{1}{7})^2$.
Основание степени $0 < \frac{1}{7} < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $2x^2 - 3x \le 2$.
Перенесем все члены в левую часть: $2x^2 - 3x - 2 \le 0$.
Решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4}$. $x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$ $x_2 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Графиком функции $y = 2x^2 - 3x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-0.5; 2]$.
Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: 0, 1, 2. Их количество равно 3.

Ответ: 3.

в)

Рассмотрим неравенство $2^{-x^2 + 8x} > 128$.
Приведем обе части к основанию 2. Так как $128 = 2^7$, получаем: $2^{-x^2 + 8x} > 2^7$.
Поскольку основание $2 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется: $-x^2 + 8x > 7$.
Перенесем все в левую часть: $-x^2 + 8x - 7 > 0$.
Для удобства умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 8x + 7 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Графиком $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (1; 7)$.
Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: 2, 3, 4, 5, 6. Их количество равно 5.

Ответ: 5.

г)

Рассмотрим неравенство $(0.3)^{x^2 - x} > 0.09$.
Приведем обе части к основанию 0.3. Так как $0.09 = (0.3)^2$, получаем: $(0.3)^{x^2 - x} > (0.3)^2$.
Основание степени $0 < 0.3 < 1$, поэтому функция является убывающей. Знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный: $x^2 - x < 2$.
Перенесем все в левую часть: $x^2 - x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Графиком $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1; 2)$.
Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: 0, 1. Их количество равно 2.

Ответ: 2.