Номер 13.26, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.26, страница 82.

13.26. a) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x};$

б) $3^{x+1} + 3^{x+2} + 2 \cdot 3^x > 2 \cdot 7^{2x+1}.$

а) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$2^1 \cdot 2^{2x} - 3^1 \cdot 3^{2x} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

$2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 3^{2x} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $2^{2x}$, в левой части, а слагаемые, содержащие $3^{2x}$, — в правой:

$2 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^{2x} < 3^{2x} + 3 \cdot 3^{2x}$

Приведем подобные слагаемые:

$(2 + 7) \cdot 2^{2x} < (1 + 3) \cdot 3^{2x}$

$9 \cdot 2^{2x} < 4 \cdot 3^{2x}$

Разделим обе части неравенства на $3^{2x}$. Так как $3^{2x} > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.

$9 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} < 4$

Используем свойство степеней $\frac{a^c}{b^c} = \left(\frac{a}{b}\right)^c$:

$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} < 4$

Разделим обе части на 9:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} < \frac{4}{9}$

Заметим, что $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$. Подставим это в неравенство:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} < \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основание степени $\frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$2x > 2$

Разделим обе части на 2:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

б) $3^{x+1} + 3^{x+2} + 2 \cdot 3^x > 2 \cdot 7^{2x+1}$

Преобразуем левую и правую части неравенства, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Левая часть:

$3^{x+1} + 3^{x+2} + 2 \cdot 3^x = 3^1 \cdot 3^x + 3^2 \cdot 3^x + 2 \cdot 3^x = 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x + 2 \cdot 3^x = (3+9+2) \cdot 3^x = 14 \cdot 3^x$

Правая часть:

$2 \cdot 7^{2x+1} = 2 \cdot 7^1 \cdot 7^{2x} = 14 \cdot 7^{2x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$14 \cdot 3^x > 14 \cdot 7^{2x}$

Разделим обе части на 14:

$3^x > 7^{2x}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем правую часть: $7^{2x} = (7^2)^x = 49^x$.

$3^x > 49^x$

Разделим обе части неравенства на $49^x$. Так как $49^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.

$\frac{3^x}{49^x} > 1$

$\left(\frac{3}{49}\right)^x > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{49}$, используя свойство $a^0=1$:

$\left(\frac{3}{49}\right)^x > \left(\frac{3}{49}\right)^0$

Так как основание степени $\frac{3}{49}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{3}{49} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$