Номер 13.32, страница 83, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.32, страница 83.

13.32. a) $2^{6x-10} - 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \le 0$;

б) $5^{2x+1} - 5^{x+2} \le 5^x - 5$;

в) $3^{8x+6} - 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \ge 0$;

г) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$.

а) $2^{6x-10} - 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \le 0$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней: $2^{6x-10} = 2^{2(3x-5)} = (2^{3x-5})^2$.

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^{3x-5}$. Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$t^2 - 9t + 8 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 9t + 8$. Соответствующее уравнение $t^2 - 9t + 8 = 0$ по теореме Виета имеет корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Графиком функции $y = t^2 - 9t + 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $1 \le t \le 8$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену: $1 \le 2^{3x-5} \le 8$.

Представим границы этого двойного неравенства в виде степеней с основанием 2: $1 = 2^0$ и $8 = 2^3$.
$2^0 \le 2^{3x-5} \le 2^3$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y = 2^z$ является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей степеней:
$0 \le 3x-5 \le 3$.

Решим полученное двойное линейное неравенство:
$0+5 \le 3x \le 3+5$
$5 \le 3x \le 8$
$\frac{5}{3} \le x \le \frac{8}{3}$.

Решением неравенства является отрезок $[\frac{5}{3}; \frac{8}{3}]$.
Ответ: $x \in [\frac{5}{3}; \frac{8}{3}]$.

б) $5^{2x+1} - 5^{x+2} \le 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем их, используя свойства степеней: $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$.
$5^{2x} \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 - 5^x + 5 \le 0$
$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x - 5^x + 5 \le 0$
$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $t$ является значением показательной функции, $t > 0$.

Неравенство сводится к квадратному: $5t^2 - 26t + 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.
$t = \frac{26 \pm 24}{10}$.
Корни: $t_1 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ и $t_2 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$.

Парабола $y = 5t^2 - 26t + 5$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{5} \le t \le 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{5} \le 5^x \le 5$.

Представим границы в виде степеней с основанием 5: $5^{-1} \le 5^x \le 5^1$.

Так как основание $5 > 1$, функция $y = 5^z$ возрастающая. Перейдем к неравенству для показателей:
$-1 \le x \le 1$.

Решением является отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: $x \in [-1; 1]$.

в) $3^{8x+6} - 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \ge 0$

Заметим, что $3^{8x+6} = 3^{2(4x+3)} = (3^{4x+3})^2$. Это позволяет свести неравенство к квадратному.

Пусть $t = 3^{4x+3}$. Так как $t$ — значение показательной функции, $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t^2 - 10t + 9 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 10t + 9 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями: $t \le 1$ или $t \ge 9$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем совокупность неравенств: $0 < t \le 1$ или $t \ge 9$.

Выполним обратную замену и решим два неравенства:

1) $0 < 3^{4x+3} \le 1$. Так как $3^{4x+3}$ всегда больше нуля, решаем $3^{4x+3} \le 1$.
$3^{4x+3} \le 3^0$.
Поскольку основание $3 > 1$, функция возрастающая, значит $4x+3 \le 0 \implies 4x \le -3 \implies x \le -\frac{3}{4}$.

2) $3^{4x+3} \ge 9$.
$3^{4x+3} \ge 3^2$.
Так как основание $3 > 1$, то $4x+3 \ge 2 \implies 4x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{4}$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем множество $(-\infty; -\frac{3}{4}] \cup [-\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,75] \cup [-0,25; +\infty)$.

г) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем, используя свойства степеней:
$3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 - 3^x + 9 < 0$
$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x - 3^x + 9 < 0$
$9 \cdot (3^x)^2 - 82 \cdot 3^x + 9 < 0$.

Введем замену. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $9t^2 - 82t + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $9t^2 - 82t + 9 = 0$.
$D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.
$t = \frac{82 \pm 80}{18}$.
Корни: $t_1 = \frac{82 - 80}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{82 + 80}{18} = \frac{162}{18} = 9$.

Ветви параболы $y = 9t^2 - 82t + 9$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями: $\frac{1}{9} < t < 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{9} < 3^x < 9$.

Представим границы в виде степеней с основанием 3: $3^{-2} < 3^x < 3^2$.

Так как основание $3 > 1$, функция $y = 3^z$ возрастающая. Перейдем к неравенству для показателей:
$-2 < x < 2$.

Решением является интервал $(-2; 2)$.
Ответ: $x \in (-2; 2)$.