Номер 13.37, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.37, страница 84.

13.37. a) $ \frac{1}{x} \le (4,5)^{x-1}; $

б) $ \frac{5}{x} \ge 3^{x-1} + 4. $

а)

Решим неравенство $\frac{1}{x} \le (4,5)^{x-1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства: $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Пусть $x < 0$.
В этом случае левая часть неравенства, $\frac{1}{x}$, является отрицательным числом.
Правая часть, $(4,5)^{x-1}$, является значением показательной функции с основанием $4,5 > 1$, поэтому она всегда положительна при любом действительном $x$.
Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа, поэтому неравенство $\frac{1}{x} \le (4,5)^{x-1}$ выполняется для всех $x < 0$.
Решением в этом случае является интервал $(-\infty, 0)$.

2. Пусть $x > 0$.
Для решения неравенства на этом промежутке рассмотрим поведение функций в левой и правой частях: $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = (4,5)^{x-1}$.
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ (гипербола) является строго убывающей.
Функция $g(x) = (4,5)^{x-1}$ (показательная) является строго возрастающей, так как ее основание $4,5 > 1$.
Найдем точку пересечения графиков этих функций, решив уравнение $f(x) = g(x)$:
$\frac{1}{x} = (4,5)^{x-1}$.
Легко заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения, так как при подстановке получаем верное равенство:
$\frac{1}{1} = (4,5)^{1-1} \implies 1 = (4,5)^0 \implies 1 = 1$.
Поскольку на промежутке $(0, +\infty)$ убывающая функция $f(x)$ и возрастающая функция $g(x)$ могут пересечься только в одной точке, то $x=1$ — единственная точка их пересечения.
Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то неравенство $f(x) \le g(x)$ будет выполняться при $x \ge 1$.
Решением в этом случае является промежуток $[1, +\infty)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях ($x < 0$ и $x > 0$), получаем окончательное решение неравенства.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{5}{x} \ge 3^{x-1} + 4$.
ОДЗ: $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая.

1. Пусть $x < 0$.
В этом случае левая часть неравенства, $\frac{5}{x}$, всегда отрицательна.
Правая часть, $3^{x-1} + 4$, всегда положительна. Более того, так как $3^{x-1} > 0$ при любом $x$, то $3^{x-1} + 4 > 4$.
Отрицательное число не может быть больше или равно положительному числу (которое к тому же больше 4). Следовательно, при $x < 0$ неравенство не имеет решений.

2. Пусть $x > 0$.
В этом случае обе части неравенства положительны. Рассмотрим функции $f(x) = \frac{5}{x}$ и $g(x) = 3^{x-1} + 4$.
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $f(x) = \frac{5}{x}$ является строго убывающей.
Функция $g(x) = 3^{x-1} + 4$ является строго возрастающей (как сумма возрастающей показательной функции и константы).
Найдем их точку пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:
$\frac{5}{x} = 3^{x-1} + 4$.
Методом подбора находим, что $x=1$ является корнем:
$\frac{5}{1} = 3^{1-1} + 4 \implies 5 = 3^0 + 4 \implies 5 = 1 + 4 \implies 5 = 5$.
Так как на промежутке $(0, +\infty)$ убывающая функция $f(x)$ и возрастающая функция $g(x)$ пересекаются в единственной точке $x=1$, то неравенство $f(x) \ge g(x)$ будет выполняться для всех $x$ от $0$ до точки пересечения включительно.
То есть, при $0 < x \le 1$ выполняется $f(x) \ge g(x)$, а при $x > 1$ выполняется $f(x) < g(x)$.
Следовательно, решением в этом случае является полуинтервал $(0, 1]$.

Поскольку в первом случае решений не было, итоговое решение совпадает с решением для второго случая.
Ответ: $x \in (0, 1]$.