Номер 13.44, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.44, страница 85.

13.44. a) $\frac{x^2 - 2}{2^x - 8} < 0;$

б) $\frac{x^2 - 5}{5^x - 125} \ge 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 2}{2^x - 8} < 0$ методом обобщенных интервалов.

1. Определим нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Нули знаменателя: $2^x - 8 = 0 \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.
Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $x \neq 3$.

2. Отметим на числовой оси точки $x=-\sqrt{2}$, $x=\sqrt{2}$ и $x=3$. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом из них, подставляя пробные точки:

- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4^2-2}{2^4-8} = \frac{14}{8} > 0$.
- При $\sqrt{2} < x < 3$ (например, $x=2$): $\frac{2^2-2}{2^2-8} = \frac{2}{-4} < 0$.
- При $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ (например, $x=0$): $\frac{0^2-2}{2^0-8} = \frac{-2}{-7} > 0$.
- При $x < -\sqrt{2}$ (например, $x=-2$): $\frac{(-2)^2-2}{2^{-2}-8} = \frac{2}{1/4-8} < 0$.

3. Неравенство строгое ($<0$), поэтому выбираем интервалы, где выражение отрицательно. Граничные точки в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; 3)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2 - 5}{5^x - 125} \ge 0$ методом обобщенных интервалов.

1. Определим нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.
Нули знаменателя: $5^x - 125 = 0 \implies 5^x = 5^3 \implies x = 3$.
Из области определения следует, что $x \neq 3$.

2. Отметим на числовой оси точки $x=-\sqrt{5}$, $x=\sqrt{5}$ и $x=3$. Заметим, что $\sqrt{5} \approx 2.24$, так что $\sqrt{5} < 3$. Точки разбивают ось на интервалы. Определим знак выражения на каждом из них:

- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4^2-5}{5^4-125} = \frac{11}{500} > 0$.
- При $\sqrt{5} < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{(2.5)^2-5}{5^{2.5}-125} = \frac{1.25}{25\sqrt{5}-125} < 0$ (т.к. $\sqrt{5} < 5$).
- При $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ (например, $x=0$): $\frac{0^2-5}{5^0-125} = \frac{-5}{-124} > 0$.
- При $x < -\sqrt{5}$ (например, $x=-3$): $\frac{(-3)^2-5}{5^{-3}-125} = \frac{4}{1/125-125} < 0$.

3. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому выбираем интервалы, где выражение положительно. Также в решение включаются нули числителя, т.е. точки $x=\sqrt{5}$ и $x=-\sqrt{5}$. Точка $x=3$, где знаменатель равен нулю, исключается.

Объединяя интервалы и точки, получаем решение.

Ответ: $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}] \cup (3; +\infty)$.