Номер 13.45, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.45, страница 85.

13.45. a) $(2^x - 8)(3^x - 81) < 0;$

б) $\left(3^{x+2} - \frac{1}{27}\right)\left(5^{3-2x} - 0,2\right) \ge 0.$

а)

Исходное неравенство: $(2^x - 8)(3^x - 81) < 0$.

Это неравенство эквивалентно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 2^x - 8 > 0 \\ 3^x - 81 < 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} 2^x - 8 < 0 \\ 3^x - 81 > 0 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} 2^x > 8 \\ 3^x < 81 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 2^3 \\ 3^x < 3^4 \end{cases}$

Так как основания степеней $2$ и $3$ больше $1$, то при переходе к неравенствам для показателей степени знаки неравенств сохраняются:

$\begin{cases} x > 3 \\ x < 4 \end{cases} \implies 3 < x < 4$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} 2^x < 8 \\ 3^x > 81 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x < 2^3 \\ 3^x > 3^4 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 3 \\ x > 4 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как нет числа, которое было бы одновременно меньше 3 и больше 4.

Объединяя решения обеих систем, получаем окончательный результат.

Ответ: $x \in (3; 4)$.

б)

Исходное неравенство: $(3^{x+2} - \frac{1}{27})(5^{3-2x} - 0,2) \ge 0$.

Сначала преобразуем числа к степеням с теми же основаниями, что и в показательных функциях:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Неравенство принимает вид:

$(3^{x+2} - 3^{-3})(5^{3-2x} - 5^{-1}) \ge 0$.

Данное неравенство эквивалентно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 3^{x+2} - 3^{-3} \ge 0 \\ 5^{3-2x} - 5^{-1} \ge 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} 3^{x+2} - 3^{-3} \le 0 \\ 5^{3-2x} - 5^{-1} \le 0 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} 3^{x+2} \ge 3^{-3} \\ 5^{3-2x} \ge 5^{-1} \end{cases}$

Основания степеней $3$ и $5$ больше $1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$\begin{cases} x+2 \ge -3 \\ 3-2x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ -2x \ge -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 2 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $[-5; 2]$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} 3^{x+2} \le 3^{-3} \\ 5^{3-2x} \le 5^{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} x+2 \le -3 \\ 3-2x \le -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -5 \\ -2x \le -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -5 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше или равно $-5$ и больше или равно $2$.

Объединяя решения, полученные в обеих системах, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in [-5; 2]$.