Номер 13.48, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.48, страница 85.

13.48. Найдите сумму всех целых положительных чисел, которые являются решениями неравенства $14^{x-1} < 5^{x+1}$.

Для решения показательного неравенства $14^{x-1} < 5^{x+1}$ прологарифмируем обе его части. Можно использовать натуральный логарифм (ln). Так как основание логарифма $e \approx 2.718 > 1$, функция $y = \ln(t)$ является возрастающей, поэтому знак неравенства при логарифмировании сохраняется.

$\ln(14^{x-1}) < \ln(5^{x+1})$

Используем свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$:

$(x-1)\ln(14) < (x+1)\ln(5)$

Раскроем скобки:

$x\ln(14) - \ln(14) < x\ln(5) + \ln(5)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левой части неравенства, а постоянные члены — в правой:

$x\ln(14) - x\ln(5) < \ln(14) + \ln(5)$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(\ln(14) - \ln(5)) < \ln(14) + \ln(5)$

Применим свойства логарифмов: $\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$ и $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$:

$x \ln(\frac{14}{5}) < \ln(14 \cdot 5)$

$x \ln(2.8) < \ln(70)$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части на $\ln(2.8)$. Так как $2.8 > 1$, то $\ln(2.8) > 0$, и знак неравенства не меняется.

$x < \frac{\ln(70)}{\ln(2.8)}$

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$, получаем:

$x < \log_{2.8}(70)$

Теперь оценим значение $\log_{2.8}(70)$, чтобы найти целые решения. Найдем, между какими целыми числами находится это значение, последовательно возводя 2.8 в целые степени:

$(2.8)^1 = 2.8$

$(2.8)^2 = 7.84$

$(2.8)^3 = (2.8)^2 \cdot 2.8 = 7.84 \cdot 2.8 = 21.952$

$(2.8)^4 = (2.8)^3 \cdot 2.8 = 21.952 \cdot 2.8 = 61.4656$

$(2.8)^5 = (2.8)^4 \cdot 2.8 = 61.4656 \cdot 2.8 = 172.09368$

Мы видим, что $(2.8)^4 < 70 < (2.8)^5$.

Это означает, что $4 < \log_{2.8}(70) < 5$.

Таким образом, решение неравенства $x < \log_{2.8}(70)$ представляет собой интервал $(-\infty; \log_{2.8}(70))$, где $\log_{2.8}(70)$ — число, находящееся между 4 и 5.

По условию задачи, нам нужно найти сумму всех целых положительных чисел, которые являются решениями. Целые положительные числа — это натуральные числа: $1, 2, 3, 4, ...$ .

Из них неравенству $x < \log_{2.8}(70)$ удовлетворяют числа: $1, 2, 3, 4$.

Найдем сумму этих чисел:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$

Ответ: 10