Номер 14.4, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.4, страница 86.

Вычислите:

14.4. a) $\log_3 \frac{1}{27}$;

б) $\log_{0,1} 0,0001$;

в) $\lg 0,0001$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} 81.$

а) По определению логарифма, $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Нам нужно найти такое число $x$, что $3^x = \frac{1}{27}$.

Представим $27$ как степень числа $3$: $27 = 3^3$.

Тогда дробь $\frac{1}{27}$ можно записать как $\frac{1}{3^3}$.

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем, что $\frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Таким образом, наше уравнение принимает вид $3^x = 3^{-3}$. Отсюда следует, что $x = -3$.

Ответ: $-3$.

б) Нам нужно вычислить $\log_{0,1} 0,0001$. Для этого найдем такое число $x$, для которого выполняется равенство $0,1^x = 0,0001$.

Представим основание логарифма и его аргумент в виде степеней числа $10$.

Основание: $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Аргумент: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Подставим эти значения в равенство: $(10^{-1})^x = 10^{-4}$.

По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $10^{-x} = 10^{-4}$.

Приравнивая показатели степеней, имеем $-x = -4$, откуда $x = 4$.

Ответ: $4$.

в) Выражение $\lg 0,0001$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию $10$. Таким образом, $\lg 0,0001 = \log_{10} 0,0001$.

Найдем такое число $x$, что $10^x = 0,0001$.

Представим $0,0001$ в виде степени числа $10$: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Уравнение принимает вид $10^x = 10^{-4}$.

Отсюда $x = -4$.

Ответ: $-4$.

г) Чтобы вычислить $\log_{\frac{1}{3}} 81$, найдем такое число $x$, что $(\frac{1}{3})^x = 81$.

Представим основание и аргумент логарифма как степени одного и того же числа, в данном случае числа $3$.

Основание: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Аргумент: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Подставим полученные выражения в исходное равенство: $(3^{-1})^x = 3^4$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, левая часть равенства преобразуется в $3^{-x}$.

Получаем уравнение $3^{-x} = 3^4$.

Приравнивая показатели степеней, находим, что $-x = 4$, или $x = -4$.

Ответ: $-4$.