Номер 14.7, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.7, страница 86.

14.7. a) $\log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{49}$;

б) $\log_6 \frac{36}{\sqrt{6}};$

в) $\log_{0.2} \frac{25}{\sqrt{5}};$

г) $\log_{0.1} 10\sqrt{1000}.$

а)

Для того чтобы найти значение выражения $ \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{49} $, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{7} $, чтобы получить аргумент $ \frac{1}{49} $.

Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, например, 7.

Основание: $ \frac{1}{7} = 7^{-1} $.

Аргумент: $ \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2} $.

Подставим эти значения в исходное выражение: $ \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{49} = \log_{7^{-1}} 7^{-2} $.

Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{7^{-1}} 7^{-2} = \frac{-2}{-1} \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2 $.

Ответ: 2

б)

Для решения $ \log_6 \frac{36}{\sqrt{6}} $ сначала упростим аргумент логарифма, представив его в виде степени основания 6.

$ \frac{36}{\sqrt{6}} = \frac{6^2}{6^{\frac{1}{2}}} $.

По свойству степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем:

$ 6^{2 - \frac{1}{2}} = 6^{\frac{4}{2} - \frac{1}{2}} = 6^{\frac{3}{2}} $.

Теперь исходное выражение имеет вид: $ \log_6 6^{\frac{3}{2}} $.

Используя основное свойство логарифма $ \log_a a^b = b $, получаем:

$ \log_6 6^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} = 1,5 $.

Ответ: 1,5

в)

Чтобы вычислить $ \log_{0,2} \frac{25}{\sqrt{5}} $, представим основание и аргумент логарифма как степени числа 5.

Основание: $ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1} $.

Аргумент: $ \frac{25}{\sqrt{5}} = \frac{5^2}{5^{\frac{1}{2}}} $. По свойству степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем $ 5^{2 - \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}} $.

Таким образом, исходное выражение принимает вид: $ \log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{2}} $.

Применим свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-1} \log_5 5 = -\frac{3}{2} \cdot 1 = -1,5 $.

Ответ: -1,5

г)

Для нахождения значения $ \log_{0,1} 10\sqrt{1000} $ преобразуем основание и аргумент логарифма к степеням числа 10.

Основание: $ 0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1} $.

Аргумент: $ 10\sqrt{1000} = 10 \cdot \sqrt{10^3} = 10^1 \cdot (10^3)^{\frac{1}{2}} = 10^1 \cdot 10^{\frac{3}{2}} $. По свойству степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем $ 10^{1 + \frac{3}{2}} = 10^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = 10^{\frac{5}{2}} $.

Теперь выражение выглядит так: $ \log_{10^{-1}} 10^{\frac{5}{2}} $.

Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{10^{-1}} 10^{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{-1} \log_{10} 10 = -\frac{5}{2} \cdot 1 = -2,5 $.

Ответ: -2,5