Номер 14.14, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.14, страница 87.

14.14. а) $13^{\log_{13} 4 - 2}$,

б) $0,5^{\log_{0,5} 4 - 1}$,

в) $2,2^{\log_{2,2} 5 - 2}$,

г) $10^{\lg 5 - 0,5}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.
$13^{\log_{13} 4 - 2} = \frac{13^{\log_{13} 4}}{13^2}$
Применим основное логарифмическое тождество к числителю: $13^{\log_{13} 4} = 4$.
Вычислим знаменатель: $13^2 = 169$.
Подставим полученные значения обратно в дробь:
$\frac{4}{169}$
Ответ: $\frac{4}{169}$.

б) Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте: свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$0.5^{\log_{0.5} 4 - 1} = \frac{0.5^{\log_{0.5} 4}}{0.5^1}$
Упростим числитель с помощью основного логарифмического тождества: $0.5^{\log_{0.5} 4} = 4$.
Знаменатель равен $0.5^1 = 0.5$.
Теперь выполним деление:
$\frac{4}{0.5} = \frac{4}{1/2} = 4 \cdot 2 = 8$
Ответ: $8$.

в) Применим свойство разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$2.2^{\log_{2.2} 5 - 2} = \frac{2.2^{\log_{2.2} 5}}{2.2^2}$
Упростим числитель по основному логарифмическому тождеству: $2.2^{\log_{2.2} 5} = 5$.
Вычислим знаменатель: $2.2^2 = 4.84$.
Получаем дробь:
$\frac{5}{4.84}$
Для удобства преобразуем десятичную дробь в знаменателе в обыкновенную: $4.84 = \frac{484}{100} = \frac{121}{25}$.
$\frac{5}{\frac{121}{25}} = 5 \cdot \frac{25}{121} = \frac{125}{121}$
Ответ: $\frac{125}{121}$.

г) В данном выражении $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 5 = \log_{10} 5$.
Воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$10^{\lg 5 - 0.5} = 10^{\log_{10} 5 - 0.5} = \frac{10^{\log_{10} 5}}{10^{0.5}}$
Числитель упрощается по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $10^{\log_{10} 5} = 5$.
Знаменатель: $10^{0.5} = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
Получаем выражение:
$\frac{5}{\sqrt{10}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10}$
Сократим дробь на 5:
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.