Номер 14.9, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.9, страница 86.

14.9. a) $ \log_2 (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) $;

б) $ \log_5 (\sqrt[3]{6} - 1)(\sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{6} + 1) $;

в) $ \log_{0.2} (\sqrt{32} + \sqrt{7})(\sqrt{32} - \sqrt{7}) $;

г) $ \log_7 (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}) $.

а) $\log_2 ((\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1))$

Для упрощения выражения, находящегося под знаком логарифма, применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Получаем: $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\log_2(2)$.

По определению логарифма, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице ($\log_a(a) = 1$).

Следовательно, $\log_2(2) = 1$.

Ответ: 1

б) $\log_5 ((\sqrt[3]{6} - 1)(\sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{6} + 1))$

Выражение под знаком логарифма соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов": $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = \sqrt[3]{6}$ и $b = 1$. Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $a^2 = (\sqrt[3]{6})^2 = \sqrt[3]{36}$, $ab = \sqrt[3]{6} \cdot 1 = \sqrt[3]{6}$, $b^2 = 1^2 = 1$. Все сходится.

Применяем формулу: $(\sqrt[3]{6} - 1)(\sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{6} + 1) = (\sqrt[3]{6})^3 - 1^3 = 6 - 1 = 5$.

Подставляем результат в логарифм:

$\log_5(5) = 1$.

Ответ: 1

в) $\log_{0,2} ((\sqrt{32} + \sqrt{7})(\sqrt{32} - \sqrt{7}))$

Снова применяем формулу "разность квадратов" $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках.

Здесь $a = \sqrt{32}$ и $b = \sqrt{7}$.

$(\sqrt{32} + \sqrt{7})(\sqrt{32} - \sqrt{7}) = (\sqrt{32})^2 - (\sqrt{7})^2 = 32 - 7 = 25$.

Получаем выражение $\log_{0,2}(25)$.

Преобразуем основание логарифма: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Тогда $\log_{0,2}(25) = \log_{\frac{1}{5}}(25)$.

Пусть $\log_{\frac{1}{5}}(25) = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{5})^x = 25$.

Представим обе части уравнения как степени числа 5: $(5^{-1})^x = 5^2$.

$5^{-x} = 5^2$.

Отсюда $-x = 2$, значит $x = -2$.

Ответ: -2

г) $\log_7 ((\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}))$

Выражение под знаком логарифма соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt[3]{2}$. Проверим вторую скобку: $a^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{25}$, $ab = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{10}$, $b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$. Все сходится.

Применяем формулу: $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}) = (\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{2})^3 = 5 + 2 = 7$.

Подставляем результат в логарифм:

$\log_7(7) = 1$.

Ответ: 1