Номер 14.15, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.15, страница 87.

14.15. а) $8^{2 \log_8 3}$;

б) $6^{-3 \log_6 2}$;

в) $3^{4 \log_3 2}$;

г) $5^{-2 \log_5 3}$.

а) Для решения данного выражения $8^{2 \log_8 3}$ воспользуемся свойством логарифма: $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$. Применим это свойство к показателю степени: $2 \log_8 3 = \log_8 3^2 = \log_8 9$. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное: $8^{2 \log_8 3} = 8^{\log_8 9}$. Далее, используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае $a=8$ и $b=9$, поэтому: $8^{\log_8 9} = 9$.
Ответ: 9.

б) Рассмотрим выражение $6^{-3 \log_6 2}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$: $-3 \log_6 2 = \log_6 2^{-3}$. Вычислим $2^{-3}$: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. Таким образом, показатель степени равен $\log_6 \frac{1}{8}$. Подставим это в исходное выражение: $6^{-3 \log_6 2} = 6^{\log_6 (1/8)}$. Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем: $6^{\log_6 (1/8)} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) Для выражения $3^{4 \log_3 2}$ применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$ к показателю степени: $4 \log_3 2 = \log_3 2^4$. Вычислим $2^4$: $2^4 = 16$. Значит, показатель степени равен $\log_3 16$. Подставляем обратно в исходное выражение: $3^{4 \log_3 2} = 3^{\log_3 16}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где $a=3$ и $b=16$, находим: $3^{\log_3 16} = 16$.
Ответ: 16.

г) Рассмотрим выражение $5^{-2 \log_5 3}$. Преобразуем показатель степени с помощью свойства $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$: $-2 \log_5 3 = \log_5 3^{-2}$. Вычислим значение $3^{-2}$: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. Следовательно, показатель степени равен $\log_5 \frac{1}{9}$. Теперь подставим это в исходное выражение: $5^{-2 \log_5 3} = 5^{\log_5 (1/9)}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем: $5^{\log_5 (1/9)} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.