Номер 14.17, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.17, страница 87.

14.17. a) $(\sqrt{2})^{\log_2 72} + 2^{\log_5 25};$

в) $(\sqrt{5})^{\log_5 16} - 2^{\log_4 2};$

б) $(\sqrt{3})^{\log_3 12} - 12^{\log_3 9};$

г) $(\sqrt{7})^{\log_7 2} + 16^{\log_9 3}.$

а) $(\sqrt{2})^{\log_2 72} + 2^{\log_5 25}$

Для решения этого примера, мы упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{2})^{\log_2 72}$.
Представим $\sqrt{2}$ как $2^{1/2}$. Выражение примет вид: $(2^{1/2})^{\log_2 72}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $2^{\frac{1}{2} \log_2 72}$.
Далее, используя свойство логарифма $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$, преобразуем показатель степени: $\frac{1}{2} \log_2 72 = \log_2 72^{1/2} = \log_2 \sqrt{72}$.
Таким образом, выражение становится $2^{\log_2 \sqrt{72}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $2^{\log_2 \sqrt{72}} = \sqrt{72}$.
Упростим корень: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое $2^{\log_5 25}$.
Сначала вычислим показатель степени $\log_5 25$. Так как $5^2 = 25$, то $\log_5 25 = 2$.
Тогда второе слагаемое равно $2^2 = 4$.

3. Сложим полученные значения:
$6\sqrt{2} + 4$.

Ответ: $4 + 6\sqrt{2}$.

б) $(\sqrt{3})^{\log_3 12} - 12^{\log_3 9}$

Решим этот пример, упрощая каждое слагаемое.

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{3})^{\log_3 12}$.
Представим $\sqrt{3}$ как $3^{1/2}$. Выражение примет вид: $(3^{1/2})^{\log_3 12}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $3^{\frac{1}{2} \log_3 12}$.
По свойству логарифма $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$: $3^{\log_3 12^{1/2}} = 3^{\log_3 \sqrt{12}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $3^{\log_3 \sqrt{12}} = \sqrt{12}$.
Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

2. Упростим второе слагаемое $12^{\log_3 9}$.
Вычислим показатель степени $\log_3 9$. Так как $3^2 = 9$, то $\log_3 9 = 2$.
Второе слагаемое равно $12^2 = 144$.

3. Вычтем второе значение из первого:
$2\sqrt{3} - 144$.

Ответ: $2\sqrt{3} - 144$.

в) $(\sqrt{5})^{\log_5 16} - 2^{\log_4 2}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{5})^{\log_5 16}$.
Представим $\sqrt{5}$ как $5^{1/2}$. Выражение примет вид: $(5^{1/2})^{\log_5 16}$.
Используя свойства степени и логарифма: $5^{\frac{1}{2} \log_5 16} = 5^{\log_5 16^{1/2}} = 5^{\log_5 \sqrt{16}} = 5^{\log_5 4}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $5^{\log_5 4} = 4$.

2. Упростим второе слагаемое $2^{\log_4 2}$.
Вычислим показатель степени $\log_4 2$. Пусть $\log_4 2 = x$, тогда $4^x = 2$.
Поскольку $4 = 2^2$, уравнение можно переписать как $(2^2)^x = 2^1$, или $2^{2x} = 2^1$.
Отсюда $2x = 1$, и $x = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\log_4 2 = \frac{1}{2}$.
Второе слагаемое равно $2^{1/2} = \sqrt{2}$.

3. Найдем разность полученных значений:
$4 - \sqrt{2}$.

Ответ: $4 - \sqrt{2}$.

г) $(\sqrt{7})^{\log_7 2} + 16^{\log_9 3}$

Упростим каждое слагаемое.

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{7})^{\log_7 2}$.
Представим $\sqrt{7}$ как $7^{1/2}$. Выражение примет вид: $(7^{1/2})^{\log_7 2}$.
Используя свойства степени и логарифма: $7^{\frac{1}{2} \log_7 2} = 7^{\log_7 2^{1/2}} = 7^{\log_7 \sqrt{2}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $7^{\log_7 \sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое $16^{\log_9 3}$.
Вычислим показатель степени $\log_9 3$. Пусть $\log_9 3 = x$, тогда $9^x = 3$.
Поскольку $9 = 3^2$, уравнение можно переписать как $(3^2)^x = 3^1$, или $3^{2x} = 3^1$.
Отсюда $2x = 1$, и $x = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.
Второе слагаемое равно $16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$.

3. Сложим полученные значения:
$\sqrt{2} + 4$.

Ответ: $4 + \sqrt{2}$.