Номер 14.24, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.24, страница 88.

Решите уравнение:

14.24. a) $2^{x^2+1} = 7;$

б) $9^{0.5x^2} = 2;$

в) $0.1^{x^2-2} = 3;$

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}x^2+1} = 0.1;$

а) $2^{x^2 + 1} = 7$

Это показательное уравнение. Чтобы его решить, прологарифмируем обе части по основанию 2:

$\log_2(2^{x^2 + 1}) = \log_2(7)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, упростим левую часть:

$x^2 + 1 = \log_2(7)$

Теперь выразим $x^2$:

$x^2 = \log_2(7) - 1$

Так как $7 > 2$, то $\log_2(7) > \log_2(2) = 1$, а значит $\log_2(7) - 1 > 0$. Следовательно, уравнение имеет действительные корни.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\log_2(7) - 1}$

Ответ: $\pm\sqrt{\log_2(7) - 1}$

б) $9^{0,5x^2} = 2$

Представим основание 9 в виде степени числа 3, то есть $9 = 3^2$:

$(3^2)^{0,5x^2} = 2$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^{2 \cdot 0,5x^2} = 2$

$3^{x^2} = 2$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{x^2}) = \log_3(2)$

$x^2 = \log_3(2)$

Поскольку $2 > 1$, то $\log_3(2) > 0$, значит, уравнение имеет действительные корни.

Извлекаем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\log_3(2)}$

Ответ: $\pm\sqrt{\log_3(2)}$

в) $0,1^{x^2 - 2} = 3$

Представим основание 0,1 как $10^{-1}$:

$(10^{-1})^{x^2 - 2} = 3$

$10^{-(x^2 - 2)} = 3$

$10^{2 - x^2} = 3$

Прологарифмируем обе части по основанию 10 (возьмем десятичный логарифм $\lg$):

$\lg(10^{2 - x^2}) = \lg(3)$

$2 - x^2 = \lg(3)$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 2 - \lg(3)$

Так как $1 < 3 < 10$, то $0 < \lg(3) < 1$. Следовательно, выражение $2 - \lg(3)$ положительно, и уравнение имеет действительные корни.

Извлекаем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{2 - \lg(3)}$

Ответ: $\pm\sqrt{2 - \lg(3)}$

г) $(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}x^2 + 1} = 0,1$

Представим основания в виде степеней с более удобными числами:

$\frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$

$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2^{-3})^{\frac{1}{3}x^2 + 1} = 10^{-1}$

Упростим левую часть по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-3(\frac{1}{3}x^2 + 1)} = 10^{-1}$

$2^{-x^2 - 3} = 10^{-1}$

Поскольку основания (2 и 10) различны, прологарифмируем обе части. Удобно использовать десятичный логарифм:

$\lg(2^{-x^2 - 3}) = \lg(10^{-1})$

Используя свойство логарифма $\log(a^b) = b \log(a)$, получаем:

$(-x^2 - 3)\lg(2) = -1$

Разделим обе части на $-\lg(2)$:

$x^2 + 3 = \frac{1}{\lg(2)}$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{1}{\lg(2)} - 3$

Применим формулу перехода к новому основанию логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$x^2 = \log_2(10) - 3$

Представим 3 в виде логарифма по основанию 2: $3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$

$x^2 = \log_2(10) - \log_2(8)$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$x^2 = \log_2(\frac{10}{8}) = \log_2(\frac{5}{4})$

Так как $\frac{5}{4} > 1$, то $\log_2(\frac{5}{4}) > 0$. Уравнение имеет действительные корни.

Извлекаем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\log_2(\frac{5}{4})}$

Ответ: $\pm\sqrt{\log_2(\frac{5}{4})}$