Номер 14.26, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.26, страница 88.

14.26. a) $9^{x+1} + 6 = 189 \cdot 3^{x-2};$

б) $25^{x+1} + 3 = 100 \cdot 5^{x-1};$

В) $4^{x+1} + 5 = 24 \cdot 2^{x-1};$

Г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} + 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}.$

а) $9^{x+1} + 6 = 189 \cdot 3^{x-2}$
Приведем все степени к основанию 3. Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = 9 \cdot (3^x)^2$.
$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$9 \cdot (3^x)^2 + 6 = 189 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^x$
$9 \cdot (3^x)^2 + 6 = 21 \cdot 3^x$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
$9t^2 + 6 = 21t$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$9t^2 - 21t + 6 = 0$
Разделим уравнение на 3 для упрощения:
$3t^2 - 7t + 2 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$
$t_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Вернемся к замене $t = 3^x$:
1) $3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$
2) $3^x = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$
Ответ: $-1; \log_3 2$.

б) $25^{x+1} + 3 = 100 \cdot 5^{x-1}$
Приведем все степени к основанию 5.
$25^{x+1} = (5^2)^{x+1} = 5^{2(x+1)} = 5^{2x+2} = 5^{2x} \cdot 5^2 = 25 \cdot (5^x)^2$.
$5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot 5^x$.
Подставим в уравнение:
$25 \cdot (5^x)^2 + 3 = 100 \cdot \frac{1}{5} \cdot 5^x$
$25 \cdot (5^x)^2 + 3 = 20 \cdot 5^x$
Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$.
$25t^2 + 3 = 20t$
$25t^2 - 20t + 3 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 3 = 400 - 300 = 100 = 10^2$
$t_{1,2} = \frac{20 \pm 10}{2 \cdot 25} = \frac{20 \pm 10}{50}$
$t_1 = \frac{20+10}{50} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$
$t_2 = \frac{20-10}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$
Оба корня положительны. Вернемся к замене $t = 5^x$:
1) $5^x = \frac{3}{5} \Rightarrow x = \log_5\left(\frac{3}{5}\right) = \log_5 3 - \log_5 5 = \log_5 3 - 1$
2) $5^x = \frac{1}{5} \Rightarrow 5^x = 5^{-1} \Rightarrow x = -1$
Ответ: $-1; \log_5 3 - 1$.

в) $4^{x+1} + 5 = 24 \cdot 2^{x-1}$
Приведем все степени к основанию 2.
$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot (2^x)^2$.
$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$.
Подставим в уравнение:
$4 \cdot (2^x)^2 + 5 = 24 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x$
$4 \cdot (2^x)^2 + 5 = 12 \cdot 2^x$
Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
$4t^2 + 5 = 12t$
$4t^2 - 12t + 5 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 = 8^2$
$t_{1,2} = \frac{12 \pm 8}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm 8}{8}$
$t_1 = \frac{12+8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$
$t_2 = \frac{12-8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Оба корня положительны. Вернемся к замене $t = 2^x$:
1) $2^x = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \log_2\left(\frac{5}{2}\right) = \log_2 5 - \log_2 2 = \log_2 5 - 1$
2) $2^x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x = 2^{-1} \Rightarrow x = -1$
Ответ: $-1; \log_2 5 - 1$.

г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} + 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$
Приведем все степени к основанию $\frac{1}{2}$.
$\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{x+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2(x+1)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x+2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$.
Подставим в уравнение:
$\frac{1}{4} \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2 + 3 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$
Сделаем замену $t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, где $t > 0$.
$\frac{1}{4}t^2 + 3 = 2t$
Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 + 12 = 8t$
$t^2 - 8t + 12 = 0$
Найдем корни. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение 12. Это корни 2 и 6.
$t_1 = 2$, $t_2 = 6$.
Оба корня положительны. Вернемся к замене $t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ или $t = 2^{-x}$:
1) $2^{-x} = 2 \Rightarrow 2^{-x} = 2^1 \Rightarrow -x=1 \Rightarrow x = -1$
2) $2^{-x} = 6 \Rightarrow -x = \log_2 6 \Rightarrow x = -\log_2 6$
Ответ: $-1; -\log_2 6$.