Номер 15.1, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.1, страница 88.

15.1. Какие из указанных функций являются логарифмическими:

а) $y = \log_2 4 + x;$

б) $y = \log_3 \pi - 3x;$

в) $y = \log_{0,5} x - \log_4 2;$

г) $y = \log_{0,2} \pi + 9x?$

Логарифмической функцией называется функция вида $y = \log_a x$, где основание $a$ — положительное число, не равное 1 ($a > 0, a \neq 1$). Ключевым признаком логарифмической функции является то, что независимая переменная (в данном случае $x$) находится под знаком логарифма. Проанализируем каждую из предложенных функций.

а) $y = \log_2 4 + x$

В этой функции слагаемое $\log_2 4$ является константой, так как логарифм берется от конкретного числа. Вычислим его значение: $\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$.

Таким образом, функция принимает вид $y = 2 + x$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где коэффициент $k=1$ и свободный член $b=2$. Переменная $x$ не находится под знаком логарифма.

Ответ: не является логарифмической.

б) $y = \log_3 \pi - 3x$

В этой функции слагаемое $\log_3 \pi$ является константой, так как $\pi$ — это константа. Обозначим эту константу как $C = \log_3 \pi$.

Тогда функция принимает вид $y = C - 3x$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где $k=-3$ и $b=C=\log_3 \pi$. Переменная $x$ не находится под знаком логарифма.

Ответ: не является логарифмической.

в) $y = \log_{0.5} x - \log_4 2$

В данной функции слагаемое $\log_{0.5} x$ содержит переменную $x$ в качестве аргумента логарифма. Основание логарифма $a=0.5$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Слагаемое $\log_4 2$ является константой. Вычислим его значение: $\log_4 2 = \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2}\log_2 2 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, функция имеет вид $y = \log_{0.5} x - \frac{1}{2}$. Это функция является преобразованием (сдвигом вниз на $\frac{1}{2}$) основной логарифмической функции $y = \log_{0.5} x$.

Ответ: является логарифмической.

г) $y = \log_{0.2} \pi + 9x$

В этой функции слагаемое $\log_{0.2} \pi$ является константой, так как $\pi$ — это константа. Обозначим эту константу как $C = \log_{0.2} \pi$.

Тогда функция принимает вид $y = C + 9x$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где $k=9$ и $b=C=\log_{0.2} \pi$. Переменная $x$ не находится под знаком логарифма.

Ответ: не является логарифмической.