Номер 14.29, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.29, страница 88.

14.29. a) $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} \ge -6;$

б) $16^{x} \le 6 \cdot 4^{x} - 5;$

В) $9^{x} - 7 \cdot 3^{x} < -12;$

Г) $9 \cdot 7^{x} + 14 > -49^{x}.$

а) $4^x - 5 \cdot 2^x \ge -6$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 6 \ge 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 6 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 5t + 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 5t + 6$. Решая уравнение $t^2 - 5t + 6 = 0$, по теореме Виета находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $y = t^2 - 5t + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) при $t \le 2$ или $t \ge 3$.

Учитывая ограничение $t > 0$, получаем совокупность решений для $t$:

$\begin{cases} t \le 2 \\ t > 0 \end{cases}$ или $t \ge 3$.

Это эквивалентно $0 < t \le 2$ или $t \ge 3$.

Выполним обратную замену:

1) $0 < 2^x \le 2$. Левая часть неравенства, $2^x > 0$, верна для любого $x$. Правая часть: $2^x \le 2^1$. Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, то $x \le 1$.

2) $2^x \ge 3$. Логарифмируя обе части по основанию 2, получаем $x \ge \log_2 3$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [\log_2 3, +\infty)$.

б) $16^x \le 6 \cdot 4^x - 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$16^x - 6 \cdot 4^x + 5 \le 0$

Так как $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$, перепишем неравенство:

$(4^x)^2 - 6 \cdot 4^x + 5 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Условие на новую переменную: $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 6t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ с ветвями вверх, поэтому $y \le 0$ при $1 \le t \le 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 \le 4^x \le 5$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 4^x \ge 1 \\ 4^x \le 5 \end{cases}$

1) $4^x \ge 1 \implies 4^x \ge 4^0$. Так как основание $4 > 1$, то $x \ge 0$.

2) $4^x \le 5$. Логарифмируя по основанию 4, получаем $x \le \log_4 5$.

Пересекая решения, получаем $0 \le x \le \log_4 5$.

Ответ: $x \in [0, \log_4 5]$.

в) $9^x - 7 \cdot 3^x < -12$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$9^x - 7 \cdot 3^x + 12 < 0$

Так как $9^x = (3^x)^2$, неравенство принимает вид:

$(3^x)^2 - 7 \cdot 3^x + 12 < 0$

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 7t + 12 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 7t + 12$ с ветвями вверх, поэтому $y < 0$ при $3 < t < 4$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$3 < 3^x < 4$

Рассмотрим двойное неравенство:

1) $3^x > 3 \implies 3^x > 3^1$. Так как основание $3 > 1$, то $x > 1$.

2) $3^x < 4$. Логарифмируя по основанию 3, получаем $x < \log_3 4$.

Объединяя, получаем $1 < x < \log_3 4$.

Ответ: $x \in (1, \log_3 4)$.

г) $9 \cdot 7^x + 14 > -49^x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$49^x + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$

Так как $49^x = (7^x)^2$, перепишем неравенство:

$(7^x)^2 + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$

Сделаем замену $t = 7^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 + 9t + 14 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 9t + 14 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.

Корни $t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-9 \pm 5}{2}$.

$t_1 = -7$, $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 + 9t + 14$ с ветвями вверх, поэтому $y > 0$ при $t < -7$ или $t > -2$.

Учитывая условие $t > 0$, находим пересечение множеств $(-\infty, -7) \cup (-2, +\infty)$ и $(0, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(0, +\infty)$, то есть $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$7^x > 0$

Показательная функция $y = a^x$ при $a>0, a \ne 1$ всегда положительна. Следовательно, неравенство $7^x > 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.