Номер 14.30, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.30, страница 88.

14.30. Решите уравнение с параметром a:

a) $4^x - 2^x + a = a \cdot 2^x;$

б) $9^x - (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a - 2 = 0.$

а)

Исходное уравнение: $4^x - 2^x + a = a \cdot 2^x$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$4^x - 2^x - a \cdot 2^x + a = 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$ и вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$(2^x)^2 - (1+a) \cdot 2^x + a = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то должно выполняться условие $t > 0$.

После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - (1+a)t + a = 0$

Решим это уравнение. Можно применить теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 1+a$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = a$. Отсюда легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = a$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2^x$, учитывая ограничение $t > 0$.

1. Для корня $t_1 = 1$:

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Этот корень существует при любом значении параметра $a$.

2. Для корня $t_2 = a$:

$2^x = a$.

Это уравнение имеет решение только в том случае, если его правая часть положительна, то есть $a > 0$. Если это условие выполняется, то $x = \log_2 a$.

Проанализируем полученные результаты в зависимости от значений параметра $a$.

- Если $a \le 0$, корень $t_2 = a$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним. В этом случае исходное уравнение имеет только одно решение: $x=0$.

- Если $a > 0$, оба корня для $t$ ($1$ и $a$) положительны. Следовательно, исходное уравнение имеет два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \log_2 a$.

Необходимо также рассмотреть случай, когда эти два решения совпадают: $0 = \log_2 a \implies a = 2^0 \implies a = 1$. При $a=1$ уравнение имеет один корень $x=0$.

Объединим все случаи.

Ответ: если $a \in (-\infty, 0] \cup \{1\}$, то $x=0$; если $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$, то $x_1=0$, $x_2=\log_2 a$.

б)

Исходное уравнение: $9^x - (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a - 2 = 0$.

Заметим, что $9^x = (3^x)^2$. Данное уравнение является квадратным относительно $3^x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $y > 0$.

В результате замены получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - (2a + 1)y + (a^2 + a - 2) = 0$

Для решения этого уравнения найдем его дискриминант $D$:

$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + a - 2) = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2 + 4a - 8) = 9$.

Поскольку $D = 9 > 0$, уравнение для $y$ всегда имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-(-(2a+1)) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{2a+1 \pm 3}{2}$

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = \frac{2a+1+3}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$

$y_2 = \frac{2a+1-3}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1$

Теперь вернемся к переменной $x$ через замену $y = 3^x$. Мы должны решить два уравнения, учитывая условие $y>0$:

1) $3^x = a+2$

2) $3^x = a-1$

Решения для $x$ существуют только в том случае, если правые части этих уравнений положительны.

1. Уравнение $3^x = a+2$ имеет решение, если $a+2 > 0$, то есть $a > -2$. В этом случае $x = \log_3(a+2)$.

2. Уравнение $3^x = a-1$ имеет решение, если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. В этом случае $x = \log_3(a-1)$.

Проанализируем количество решений в зависимости от параметра $a$, используя ключевые точки $a=-2$ и $a=1$.

- Если $a \le -2$, то $a+2 \le 0$ и $a-1 < 0$. Оба значения $y_1$ и $y_2$ неположительны, следовательно, ни одно из уравнений для $x$ не имеет решений. Исходное уравнение не имеет корней.

- Если $-2 < a \le 1$, то $a+2 > 0$, а $a-1 \le 0$. В этом случае только корень $y_1=a+2$ положителен. Исходное уравнение имеет единственное решение: $x = \log_3(a+2)$.

- Если $a > 1$, то $a+2 > 0$ и $a-1 > 0$. Оба корня $y_1$ и $y_2$ положительны. Исходное уравнение имеет два различных решения: $x_1 = \log_3(a+2)$ и $x_2 = \log_3(a-1)$ (решения различны, так как $a+2 \ne a-1$).

Ответ: если $a \le -2$, то решений нет; если $-2 < a \le 1$, то $x = \log_3(a+2)$; если $a > 1$, то $x_1 = \log_3(a+2)$, $x_2 = \log_3(a-1)$.