Номер 14.25, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.25, страница 88.

14.25. a) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6$;

Б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5$;

В) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12$;

Г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$.

а) Исходное уравнение: $4^x - 5 \cdot 2^x = -6$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Поскольку $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то и $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня положительны, поэтому они являются допустимыми.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $2^x = 2$, откуда $x = 1$.

2. Если $t = 3$, то $2^x = 3$, откуда $x = \log_2 3$.

Ответ: $1; \log_2 3$.

б) Исходное уравнение: $16^x = 6 \cdot 4^x - 5$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $16^x$ как $(4^x)^2$:

$(4^x)^2 - 6 \cdot 4^x + 5 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 6t + 5 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $4^x = 1$, что равносильно $4^x = 4^0$, откуда $x = 0$.

2. Если $t = 5$, то $4^x = 5$, откуда $x = \log_4 5$.

Ответ: $0; \log_4 5$.

в) Исходное уравнение: $9^x - 7 \cdot 3^x = -12$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $9^x$ как $(3^x)^2$:

$(3^x)^2 - 7 \cdot 3^x + 12 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 7t + 12 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: сумма корней 7, произведение 12. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 3$, то $3^x = 3$, откуда $x = 1$.

2. Если $t = 4$, то $3^x = 4$, откуда $x = \log_3 4$.

Ответ: $1; \log_3 4$.

г) Исходное уравнение: $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $49^x$ как $(7^x)^2$:

$49^x - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$,

$(7^x)^2 - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 9t + 14 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: сумма корней 9, произведение 14. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $7^x = 2$, откуда $x = \log_7 2$.

2. Если $t = 7$, то $7^x = 7$, откуда $x = 1$.

Ответ: $1; \log_7 2$.