Номер 14.23, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.23, страница 87.

14.23. a) $3^{x+1} = 14;$

б) $4^{5x-4} = 10;$

в) $\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} = 11;$

г) $(\sqrt{5})^{8-9x} = 6.$

а) Исходное показательное уравнение: $3^{x+1} = 14$.

Для решения этого уравнения необходимо прологарифмировать обе его части. Удобнее всего использовать логарифм по основанию 3.

$\log_3(3^{x+1}) = \log_3(14)$

Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$x+1 = \log_3(14)$

Теперь выразим $x$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$x = \log_3(14) - 1$

Ответ: $x = \log_3(14) - 1$.

б) Дано уравнение: $4^{5x-4} = 10$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4:

$\log_4(4^{5x-4}) = \log_4(10)$

Применяя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, упростим левую часть:

$5x-4 = \log_4(10)$

Далее решаем полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем -4 в правую часть:

$5x = \log_4(10) + 4$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{\log_4(10) + 4}{5}$

Ответ: $x = \frac{\log_4(10) + 4}{5}$.

в) Рассмотрим уравнение: $(\frac{2}{7})^{3-x} = 11$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{2}{7}$:

$\log_{\frac{2}{7}}((\frac{2}{7})^{3-x}) = \log_{\frac{2}{7}}(11)$

По свойству $\log_a(a^b) = b$ имеем:

$3-x = \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Выразим $x$:

$-x = \log_{\frac{2}{7}}(11) - 3$

$x = 3 - \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Для удобства можно преобразовать логарифм, используя свойство $\log_{\frac{a}{b}}(c) = -\log_{\frac{b}{a}}(c)$:

$x = 3 - (-\log_{\frac{7}{2}}(11)) = 3 + \log_{\frac{7}{2}}(11)$

Ответ: $x = 3 + \log_{\frac{7}{2}}(11)$.

г) Исходное уравнение: $(\sqrt{5})^{8-9x} = 6$.

Сначала преобразуем основание степени в левой части, представив корень как степень с дробным показателем: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

$(5^{\frac{1}{2}})^{8-9x} = 6$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть:

$5^{\frac{1}{2}(8-9x)} = 6$

$5^{4 - \frac{9}{2}x} = 6$

Теперь прологарифмируем обе части по основанию 5:

$\log_5(5^{4 - \frac{9}{2}x}) = \log_5(6)$

$4 - \frac{9}{2}x = \log_5(6)$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем 4 в правую часть:

$-\frac{9}{2}x = \log_5(6) - 4$

Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x$:

$\frac{9}{2}x = 4 - \log_5(6)$

Наконец, умножим обе части на $\frac{2}{9}$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2}{9}(4 - \log_5(6))$

Ответ: $x = \frac{2}{9}(4 - \log_5(6))$.