Номер 14.27, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.27, страница 88.

Решите неравенство:

14.27. а) $2^x \ge 9$;

б) $12^x \le 7$;

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^x < 4$;

г) $(0,2)^x > 5$.

а) $2^x \ge 9$

Чтобы решить данное показательное неравенство, прологарифмируем обе его части по основанию 2. Так как основание $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей, поэтому знак неравенства при логарифмировании сохраняется.

$\log_2(2^x) \ge \log_2(9)$

Используя основное логарифмическое свойство $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$x \ge \log_2(9)$

Решение в виде числового промежутка: $[\log_2(9); +\infty)$.

Ответ: $x \in [\log_2(9); +\infty)$.

б) $12^x \le 7$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 12. Так как основание $a=12$ больше единицы ($12 > 1$), знак неравенства сохраняется.

$\log_{12}(12^x) \le \log_{12}(7)$

Упрощая левую часть на основе свойства логарифма, получаем:

$x \le \log_{12}(7)$

Решение в виде числового промежутка: $(-\infty; \log_{12}(7)]$.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_{12}(7)]$.

в) $(\frac{1}{3})^x < 4$

Представим левую часть неравенства в виде степени с основанием 3:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Неравенство принимает вид:

$3^{-x} < 4$

Прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется.

$\log_3(3^{-x}) < \log_3(4)$

$-x < \log_3(4)$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\log_3(4)$

Решение в виде числового промежутка: $(-\log_3(4); +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\log_3(4); +\infty)$.

г) $(0,2)^x > 5$

Представим основание 0,2 в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{5})^x > 5$

Теперь представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием 5:

$(\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$

$5 = 5^1$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$5^{-x} > 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший показатель степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$-x > 1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < -1$

Решение в виде числового промежутка: $(-\infty; -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.