Номер 15.3, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.3, страница 89.

Найдите значение логарифмической функции $y = \log_2 x$

в указанных точках:

15.3. a) $x_1 = 4, x_2 = 8, x_3 = 16;$

б) $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{1}{4}, x_3 = \frac{1}{16};$

в) $x_1 = 32, x_2 = 128, x_3 = 2;$

г) $x_1 = \frac{1}{8}, x_2 = \frac{1}{32}, x_3 = \frac{1}{128}.$

а)

При $x_1 = 4$: значение функции $y = \log_2 4$. По определению логарифма, мы ищем показатель степени $y$, для которого $2^y = 4$. Поскольку $4 = 2^2$, то $y = 2$.

При $x_2 = 8$: значение функции $y = \log_2 8$. Мы ищем $y$, для которого $2^y = 8$. Поскольку $8 = 2^3$, то $y = 3$.

При $x_3 = 16$: значение функции $y = \log_2 16$. Мы ищем $y$, для которого $2^y = 16$. Поскольку $16 = 2^4$, то $y = 4$.

Ответ: 2; 3; 4.

б)

При $x_1 = \frac{1}{2}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{2}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Следовательно, $y = -1$.

При $x_2 = \frac{1}{4}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$, то $y = -2$.

При $x_3 = \frac{1}{16}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{16}$. Так как $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$, то $y = -4$.

Ответ: -1; -2; -4.

в)

При $x_1 = 32$: значение функции $y = \log_2 32$. Поскольку $32 = 2^5$, то $y = 5$.

При $x_2 = 128$: значение функции $y = \log_2 128$. Поскольку $128 = 2^7$, то $y = 7$.

При $x_3 = 2$: значение функции $y = \log_2 2$. Поскольку $2 = 2^1$, то $y = 1$.

Ответ: 5; 7; 1.

г)

При $x_1 = \frac{1}{8}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{8}$. Так как $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$, то $y = -3$.

При $x_2 = \frac{1}{32}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{32}$. Так как $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$, то $y = -5$.

При $x_3 = \frac{1}{128}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{128}$. Так как $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}$, то $y = -7$.

Ответ: -3; -5; -7.