Номер 15.9, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.9, страница 90.

○15.9. Найдите область определения функции:

a) $y = \log_{8,1} (2^{x^2-5x+7} - 2)$;

б) $y = \log_{2}(\log_{0,1}x)$;

в) $y = \log_{0,6} \frac{2^{x^2-5x+7} - 2}{x}$;

г) $y = \log_{0,2}(\log_{3}x)$.

а) Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля. Следовательно, для функции $y = \log_{8,1} (2^{x^2 - 5x + 7} - 2)$ необходимо выполнить неравенство:

$2^{x^2 - 5x + 7} - 2 > 0$

$2^{x^2 - 5x + 7} > 2$

Представим правую часть как степень с основанием 2: $2 = 2^1$.

$2^{x^2 - 5x + 7} > 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5x + 7 > 1$

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $f(x) = x^2 - 5x + 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

---

б) Для функции $y = \log_2(\log_{0,1} x)$ область определения находится из системы неравенств, так как это сложная функция:

1. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля: $\log_{0,1} x > 0$.

2. Аргумент внутреннего логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.

Решим первое неравенство: $\log_{0,1} x > 0$. Представим $0$ как $\log_{0,1} 1$.

$\log_{0,1} x > \log_{0,1} 1$

Так как основание логарифма $0,1 < 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 1$

Теперь объединим полученные условия в систему:

$\begin{cases} x < 1 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

---

в) Область определения функции $y = \log_{0,6} \left(\frac{2^{x^2 - 5x + 7} - 2}{x}\right)$ задается условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля:

$\frac{2^{x^2 - 5x + 7} - 2}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $2^{x^2 - 5x + 7} - 2 = 0$. Из решения пункта а) мы знаем, что корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Нули знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки $0, 2, 3$ на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Знак числителя $2^{x^2 - 5x + 7} - 2$ совпадает со знаком выражения $x^2 - 5x + 6$. Этот трехчлен положителен при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$ и отрицателен при $x \in (2; 3)$.

На интервале $(-\infty; 0)$: числитель $(+)$, знаменатель $(-)$, дробь $(-)$.
На интервале $(0; 2)$: числитель $(+)$, знаменатель $(+)$, дробь $(+)$.
На интервале $(2; 3)$: числитель $(-)$, знаменатель $(+)$, дробь $(-)$.
На интервале $(3; \infty)$: числитель $(+)$, знаменатель $(+)$, дробь $(+)$.

Нас интересуют интервалы, где дробь положительна. Это $(0; 2)$ и $(3; \infty)$.

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (3; \infty)$.

---

г) Для функции $y = \log_{0,2} (\log_3 x)$ область определения находится из системы неравенств:

1. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля: $\log_3 x > 0$.

2. Аргумент внутреннего логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.

Решим первое неравенство: $\log_3 x > 0$. Представим $0$ как $\log_3 1$.

$\log_3 x > \log_3 1$

Так как основание логарифма $3 > 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Теперь объединим полученные условия в систему:

$\begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является неравенство $x > 1$, то есть интервал $(1; \infty)$.

Ответ: $x \in (1; \infty)$.