Номер 15.10, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.10, страница 90.

15.10. Дано: $f(x) = \log_2 x$. Докажите, что выполняется следующее соотношение:

а) $f(2^x) = x$;

б) $f(4^x) + f(8^x) = 5x$.

Дана функция $f(x) = \log_2 x$. Необходимо доказать два соотношения.

а) Докажем, что $f(2^x) = x$.

Для этого подставим в определение функции $f(x)$ вместо аргумента $x$ выражение $2^x$:

$f(2^x) = \log_2(2^x)$

Далее воспользуемся основным свойством логарифма, которое гласит, что $\log_a(a^b) = b$. В нашем случае основание логарифма $a=2$, а выражение под логарифмом представляет собой это же основание в степени $x$.

Применяя это свойство, получаем:

$\log_2(2^x) = x$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $f(2^x)$ равна правой части $x$. Равенство доказано.

Ответ: $f(2^x) = x$.

б) Докажем, что $f(4^x) + f(8^x) = 5x$.

Рассмотрим левую часть равенства и подставим в нее определение функции $f(x)$:

$f(4^x) + f(8^x) = \log_2(4^x) + \log_2(8^x)$

Чтобы упростить это выражение, представим числа 4 и 8 в виде степеней с основанием 2, так как основание логарифма равно 2.

$4 = 2^2$, следовательно, $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.

$8 = 2^3$, следовательно, $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

Теперь подставим эти выражения обратно в сумму логарифмов:

$\log_2(4^x) + \log_2(8^x) = \log_2(2^{2x}) + \log_2(2^{3x})$

Снова применяем свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$ для каждого слагаемого:

$\log_2(2^{2x}) = 2x$

$\log_2(2^{3x}) = 3x$

Сложим полученные результаты:

$2x + 3x = 5x$

Полученное выражение $5x$ совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $f(4^x) + f(8^x) = 5x$.