Номер 15.17, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.17, страница 91.

15.17. Расположите числа в порядке возрастания:

a) $log_2 0.7$, $log_2 2.6$, $log_2 0.1$, $log_2 \frac{1}{6}$, $log_2 3.7$;

б) $log_{0.3} 17$, $log_{0.3} 2.7$, $log_{0.3} \frac{1}{2}$, $log_{0.3} 3$, $log_{0.3} \frac{2}{3}$.

а)

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Все числа представляют собой логарифмы по основанию 2.

Логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ при основании $a > 1$ является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$.

В данном случае основание $a = 2$, что больше 1. Следовательно, чтобы расположить логарифмы в порядке возрастания, достаточно расположить их аргументы (подологарифмические выражения) в порядке возрастания.

Сравним аргументы: $0,7$; $2,6$; $0,1$; $\frac{1}{6}$; $3,7$.

Для удобства сравнения представим дробь $\frac{1}{6}$ в виде десятичной: $\frac{1}{6} \approx 0,166...$

Теперь расположим аргументы в порядке возрастания: $0,1 < \frac{1}{6} < 0,7 < 2,6 < 3,7$.

Поскольку функция $y = \log_2{x}$ возрастающая, то и сами логарифмы будут расположены в том же порядке.

Ответ: $\log_2{0,1}, \log_2{\frac{1}{6}}, \log_2{0,7}, \log_2{2,6}, \log_2{3,7}$.

б)

Все числа представляют собой логарифмы по основанию 0,3.

Логарифмическая функция $y = \log_a{x}$ при основании $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$.

В данном случае основание $a = 0,3$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, чтобы расположить логарифмы в порядке возрастания, необходимо расположить их аргументы в порядке убывания.

Сравним аргументы: $17$; $2,7$; $\frac{1}{2}$; $3$; $\frac{2}{3}$.

Для удобства сравнения представим дроби в виде десятичных: $\frac{1}{2} = 0,5$; $\frac{2}{3} \approx 0,666...$

Расположим аргументы в порядке убывания: $17 > 3 > 2,7 > \frac{2}{3} > \frac{1}{2}$.

Поскольку функция $y = \log_{0,3}{x}$ убывающая, то логарифмы в порядке возрастания будут соответствовать убывающему порядку их аргументов.

Ответ: $\log_{0,3}{17}, \log_{0,3}{3}, \log_{0,3}{2,7}, \log_{0,3}{\frac{2}{3}}, \log_{0,3}{\frac{1}{2}}$.